
Nous allons utiliser la formule donnant la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique.

En effet, en posant $u_0=1$ et $u_{n+1}=\i u_n$, nous avons une suite géométrique de raison $\i$ et :
\begin{align*}
u_0+u_1+\cdots+ u_{100} = S & = \dfrac{1-\i^{100+1}}{1-\i}\\
& = \dfrac{1-\i^{101}}{1-\i}\\
& = \dfrac{1-\i^{25\times4+1}}{1-\i}\\
& = \dfrac{1-\big(\i^{4}\big)^{25}\times\i}{1-\i}\\
& = \dfrac{1-1^{25}\times\i}{1-\i}\text{ car }\i^4=1\\
& = \dfrac{1-\i}{1-\i}\\
\Aboxed{S& = 1}
\end{align*}
