
\[
10 \equiv -1 \mod 11 \iff \forall k\in\N,\ 10^k \equiv (-1)^k \mod 11.
\]
Ainsi,
\begin{align*}
x\text{ est divisible par 11} & \iff \sum_{k=0}^n x_k \times 10^k \equiv 0 \mod 11\\[10pt]
& \iff \sum_{k=0}^n x_k \times (-1)^k \equiv 0 \mod 11\\[10pt]
& \iff \sum_{p=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} x_{2p} - \sum_{p=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} x_{2p+1}\equiv 0\mod 11\\[10pt]
& \iff \sum_{p=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} x_{2p} \equiv \sum_{p=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} x_{2p+1}\mod 11.
\end{align*}

Ici, nous convenons de noter $\left\lfloor\dfrac{n}{2}\right\rfloor$ la partie entière inférieure de $\dfrac{n}{2}$.

Par exemple, $\left\lfloor\dfrac{7}{2}\right\rfloor=3$.

\medskip

Nous arrivons alors au critère de divisibilité suivant: \og un nombre est divisible par 11 si et seulement si la somme des chiffres de rangs pairs et congrue à celle des chiffres de rangs impairs modulo 11 \fg.

\bigskip

Essayons avec:

\begin{itemize}
\item \textbf{37653 :} $3+6+3 = 12$ et $5+7=12$. Nous obtenons la même somme donc 37653 est divisible par 11.

\item \textbf{7432 :} $2+4 = 6$ et $3+7=10$; les deux sommes ne sont pas congrues modulo 11 donc 7432 n'est pas divisible par 11.
\end{itemize}
