
$\pgcd{x}{y}=17 \iff \exists \coord{x'}{y'}\in\N,\ x=17x',\ y=17y',\ \pgcd{x'}{y'}=1$.

Ainsi,
\[
xy=\numprint{1734} \iff 17x'+17y'=\numprint{1734}\iff x'y'=102.
\]
On cherche donc deux entiers $x'$ et $y'$ premiers entre eux dont le produit vaut $102=2\times3\times17$. Les possibilités sont les suivantes:
\begin{itemize}
\begin{multicols}{3}
\item $\coord{x'}{y'}=\coord{6}{17}$
\item $\coord{x'}{y'}=\coord{2}{51}$
\item $\coord{x'}{y'}=\coord{1}{102}$
\item $\coord{x'}{y'}=\coord{102}{1}$
\item $\coord{x'}{y'}=\coord{51}{2}$
\item $\coord{x'}{y'}=\coord{17}{6}$
\end{multicols}
\end{itemize}
En multipliant par 17 toutes ses possibilités, on obtient les couples \coord{x}{y}:
\begin{itemize}
\begin{multicols}{3}
\item $\coord{x'}{y'}=\coord{102}{289}$
\item $\coord{x'}{y'}=\coord{34}{867}$
\item $\coord{x'}{y'}=\coord{17}{\numprint{1734}}$
\item $\coord{x'}{y'}=\coord{\numprint{1734}}{17}$
\item $\coord{x'}{y'}=\coord{867}{34}$
\item $\coord{x'}{y'}=\coord{289}{102}$
\end{multicols}
\end{itemize}
