
Avant tout, remarquons que:
\[
n^2 = m^2 + 11 \iff n^2-m^2=11 \iff (n+m)(n-m)=11.
\]
Ainsi, il est nécessaire que $n+m$ ou $n-m$ divise 11. Or, 11 est un nombre premier donc:
\[
\begin{cases}
n+m = 11\\
n-m=1
\end{cases}\qquad\text{ou}\qquad
\begin{cases}
n-m=11\\
n+m=1
\end{cases}.
\]
Autrement dit,
\[
n=6 \qquad\text{et} m=5 \text{ ou }m=-5.
\]
Ainsi, les solutions de l'équation $n^2 = m^2 + 11$ sont les couples $\coord{6}{-5}$ et $\coord{6}{5}$.
