
\begin{enumerate}
\item Nous allons démontrer l'équivalence entre le système et l'unicité de la solution en démontrant la double implication.

\begin{itemize}
\item Montrons que $\begin{cases}
x\equiv a\mod m\\
x\equiv b\mod n
\end{cases}\quad \Rightarrow \quad x\equiv x_0 \mod(mn)$.

$m$ et $n$ sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Bézout, il existe un couple $\coord{u}{v}$ d'entiers relatifs tels que $um+vn=1$.

Le système $\begin{cases}
x\equiv a\mod m\\
x\equiv b\mod n
\end{cases}$ peut s'écrire :
\[
\begin{cases}
x=mk+a\\
x=nk'+b
\end{cases}\quad,\quad \coord{k}{k'}\in\Z\times\Z
\]
soit, en multipliant la 1\iere{} ligne par $nv$ et la 2\ieme{} par $mu$ :
\[
\begin{cases}
(nv)x=(nv)mk+(nv)a\\
(mu)x=(mu)nk'+(mu)b
\end{cases}\quad,\quad \coord{k}{k'}\in\Z\times\Z.
\]
En ajoutant les deux lignes, on obtient :
\[
(nv+mu)x=mn(vk+uk')+nva+mub
\]
soit :
\[
x=mn(vk+uk')+nva+mub.
\]
Ainsi, si $x$ est solution du système $\begin{cases}
x\equiv a\mod m\\
x\equiv b\mod n
\end{cases}$,

alors $x\equiv nva+mub\mod(mn)$.

\item Montrons maintenant que $x\equiv nva+mub\mod(mn)\quad\Rightarrow \quad \begin{cases}
x\equiv a\mod m\\
x\equiv b\mod n
\end{cases}$.

Puisque $m$ et $n$ sont premiers entre eux, il existe un couple $\coord{u}{v}$ d'entiers relatifs tels que $um+vn=1$, soit $nv=1-mu$.

Ainsi,
\begin{align*}
x\equiv nva+mub\mod(mn) & \Rightarrow x\equiv nva\mod m\\
& \Rightarrow x\equiv(1-mu)a \mod m\\
& \Rightarrow x\equiv a\mod m.
\end{align*}
De même,
\[
x\equiv b\mod n.
\]
$x$ est donc solution du système $\begin{cases}
x\equiv a\mod m\\
x\equiv b\mod n
\end{cases}$.
\end{itemize}

\item Notons $x$ le nombre de macarons commandés par la société. D'après l'énoncé, on a :
\[
\begin{cases}
x\equiv3\mod5\\
x\equiv2\mod9
\end{cases}
\]
5 et 9 étant premiers entre eux, on utilise le théorème des restes chinois : il existe un couple \coord{u}{v} d'entiers relatifs tels que $5u+9v=1$.

On trouve facilement $\coord{u}{v}=\coord{2}{-1}$.

Dans ce cas, $x\equiv 9\times(-1)\times3 + 5\times5\times2\mod(5\times9)$, soit $x\equiv23\mod45$.

Le nombre compris entre 100 et 140 correspondant est $x=23+2\times45=113$.

\medskip

\uline{La société a donc commandé 113 macarons.}
\end{enumerate}
