
Avant tout, écrivons:
\[
a|b \iff \exists k\in\Z,\ b = ka \iff n+13 = k(2n+1) \iff (2k-1)n = 13-k.
\]
Cela ne nous avance pas à grand-chose... Il faut donc s'y prendre autrement!

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Cherchons une combinaison linéaire de $a$ et $b$ indépendante de $n$. Notons-la $pa+qb$. Comme $a|a$ et $a|b$, $a|(pa+qb)$. Comme $pa+qb$ est indépendante de $n$, cela signifie que $a$ est un diviseur de cette combinaison linéaire, et on pourra exploiter cela.
\[
pa+qb = 2pn+p+qn+13q = (2p+q)n+p+13q.
\]
$pa+bq$ indépendante de $n$ $\iff 2p+q=0 \iff q=-2p$. On peut alors prendre $p=1$ et $q=-2$.
\[
a-2b=-25.
\]
Par conséquent, $a|25$, donc $a\in\{-25;-5;-1;1;5;25\}$.
\begin{itemize}
\item si $a=-25$, alors $2n+1=-25$ et $n=-13$;
\item si $a=-5$, alors $2n+1=-5$ et $n=-3$;
\item si $a=-1$, alors $2n+1=-1$ et $n=-1$;
\item si $a=1$, alors $2n+1=1$ et $n=0$;
\item si $a=5$, alors $2n+1=5$ et $n=2$;
\item si $a=25$, alors $2n+1=25$ et $n=12$.
\end{itemize}
On doit maintenant vérifier que pour toutes les valeurs de $n$ trouvées, $a$ divise $b$, ce qui se fait rapidement.

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\underline{Les valeurs de $n$ cherchées sont donc : $-13$, $-3$, $-1$, 0, 2 et 12.}
