
\begin{enumerate}
\item Raisonnons par récurrence.
\begin{itemize}
\item Initialisation : évidente car $u_1=1$ et $2^1=2$.
\item Hérédité : on suppose que pour un entier $k\geqslant1$ fixé, $A^k=\begin{pmatrix}1&0&u_k\\0&1&0\\0&0&2^k\end{pmatrix}$.

$A^{k+1}=A^kA=\begin{pmatrix}1&0&u_k\\0&1&0\\0&0&2^k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&u_k+2^k\\0&1&0\\0&0&2^{k+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&u_{k+1}\\0&1&0\\0&0&2^{k+1}\end{pmatrix}$.

\medskip

L'hérédité est alors vérifiée. L'égalité est alors vraie pour tout $n\geqslant1$.
\end{itemize}

\item $u_{n+1}-u_n=2^n$ donc $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\big(u_{k+1}-u_k\big)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2^k$. Ainsi, $u_n-u_1=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}2^k$, soit $u_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}2^k$.

Par conséquent, $u_n=\dfrac{2^{n+1}-1}{2-1}=2^{n+1}-1$.

On a alors : \[
 A^n=\begin{pmatrix}
 1&0&2^{n+1}-1 \\ 0&1&0\\ 0&0&2^n
 \end{pmatrix}.\]
\end{enumerate}
