
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On a :
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
\begin{pmatrix}c_1\\c_2\end{pmatrix} &
=
\begin{pmatrix}3&7\\2&13\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\17\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}125\\225\end{pmatrix}\\
& \equiv \begin{pmatrix}21\\17\end{pmatrix}\mod 26\\
& \rightsquigarrow \begin{pmatrix}V\\R\end{pmatrix}
\end{align*}

\begin{align*}
\begin{pmatrix}c_3\\c_4\end{pmatrix} &
=
\begin{pmatrix}3&7\\2&13\end{pmatrix}\begin{pmatrix}24\\15\end{pmatrix}\\
& = \begin{pmatrix}177\\243\end{pmatrix}\\
& \equiv \begin{pmatrix}21\\9\end{pmatrix}\mod 26\\
& \rightsquigarrow \begin{pmatrix}V\\J\end{pmatrix}
\end{align*}
\end{multicols}

Ainsi, \og CRYP \fg{} est chiffré en \og VRVJ \fg.

\item Le déchiffrement consiste à trouver les $u_k$ avec la relation :
\[
\forall k\in\entInterv{1}{\frac{n}{2}},\
\begin{pmatrix}
u_{2k-1}\\
u_{2k}
\end{pmatrix}
\equiv
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
c_{2k-1}\\
c_{2k}
\end{pmatrix} \mod 26
\]
On trouve: $\begin{pmatrix}3 & 7\\2 & 13\end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{25}\begin{pmatrix}13&-7\\-2&3\end{pmatrix}$.

\newpage

Il nous faut trouver la valeur de $\dfrac{1}{25}$ modulo 26, c'est-à-dire le nombre $x$ tel que $25\times x \equiv 1\mod 26$. Or, $25\equiv -1\mod 26$ donc $25\times25\equiv 1\mod 26$. Ainsi, l'inverse de 25 modulo 26 est égal à 25 (ou $-1$ si on veut ... ce qui va nous arranger pour le calcul suivant).\\
On a alors :
\begin{align*}
\begin{pmatrix}3 & 7\\2 & 13\end{pmatrix}^{-1} & \equiv 25\begin{pmatrix}
13&-7\\-2&3\end{pmatrix}\mod 26\\
& \equiv -1\begin{pmatrix}13&-7\\-2&3\end{pmatrix}\mod 26\\
& \equiv \begin{pmatrix}-13&7\\2&-3\end{pmatrix}\mod 26\\
&\equiv \begin{pmatrix}13 & 7\\2&23\end{pmatrix}\mod 26
\end{align*}

\end{enumerate}
\end{enumerate}
