
\begin{enumerate}
\item On trouve :  $A^2-3A+2I_3=\begin{pmatrix}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{pmatrix}$, que l'on peut aussi noter:
\[
A^2-3A+2I_3 = 0.
\]

\item De l'égalité obtenue précédemment, on peut en déduire que:
\[
A^2-3A = -2I_3
\]
soit:
\[
A(A-3I_3) = -2I_3 \qquad \text{ou} \qquad (A-3I_3)A = -2I_3
\]
et donc:
\[
A \times \left[-\frac{1}{2}(A-3I_3)\right] = I_3  \qquad \text{ou} \qquad \left[-\frac{1}{2}(A-3I_3)\right]\times A = I_3.
\]
On en déduit alors que $A$ est inversible et que son inverse est:
\[
A^{-1}= -\frac{1}{2}(A-3I_3) = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
0-3 & 1 & -1\\
-3 & 4-3 & -3\\
-1 & 1 & 0-3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[8pt]
\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\[8pt]
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2}
\end{pmatrix}.
\]
\end{enumerate}
