
\begin{enumerate}
\item On a le graphe suivant :
\begin{center}
\tikzset{%
	fleche/.style args={#1}{%
		postaction = decorate,%
		decoration={%
			name=markings,
    		mark=at position #1 with {\arrow[scale=2]{>}}
    	}
	}
}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (4,0);
\coordinate (C) at (60:4);
% A -> C
\draw[fleche=0.5] (A) to[bend left=30] (C);
\node[above left] at ($0.5*(A)+0.5*(C)+(-.5,.5)$) {0,2};
% A -> B
\draw[fleche=0.5] (A) to[bend right=30] (B);
\node[below] at ($0.5*(A)+0.5*(B)+(0,-1)$) {0,2};
% B -> C
\draw[fleche=0.5] (B) to[bend right=30] (C);
\node[above right] at ($0.5*(B)+0.5*(C)+(.5,.5)$) {0,4};
% C -> A
\draw[fleche=0.5] (C) to[bend left=30] (A);
\node[right] at ($0.5*(A)+0.5*(C)+(0.6,0)$) {0,2};
% B -> A
\draw[fleche=0.5] (B) to[bend right=30] (A);
\draw[fleche=0.5,yscale=15,xscale=3] (A.west) to[loop left] (A.west);
\node[above] at ($0.5*(B)+0.5*(A)+(0,0.5)$) {0,1};
\node at ($(A.west)+(-1.6,0)$) {0,6};
\node[circle,draw,fill=white] at (A) {A};
\node[circle,draw,fill=white] at (B) {B};
\node[circle,draw,fill=white] at (C) {C};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La matrice $M$ de transition est alors :
\[
M=\begin{pmatrix}
0,6 & 0,2 & 0,2\\
0,1 & 0,5 & 0,4\\
0,2 & 0   & 0,8
\end{pmatrix}
\]

\item $N_2=N_0M^2=\begin{pmatrix}100 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0,42 & 0,22 & 0,36\\
0,19 & 0,27 & 0,54\\
0,28 & 0,04 & 0,68
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}42 & 22 & 36\end{pmatrix}$.

Cela signifie qu'après 2 minutes, il y a 42 internautes sur le site A, 22 sur le site B et 36 sur le site C.

\item $N_0\times M^{20}\approx\begin{pmatrix}31,25 & 12,5 & 56,25\end{pmatrix}=N_{20}$.

\og 20 \fg{}  est assez grand pour que l'on puisse assimiler $N_{20}$ à l'état stable.

Cela signifie alors qu'à long terme, il y aura \pourcent{31,25} des internautes sur le site A, \pourcent{12,5} sur le site B et \pourcent{56,25} sur le site C (quel que soit le nombre d'internautes au départ).

\item
\begin{enumerate}
\item D'après le graphe, la probabilité de passer de C à A  en 1 minute est égale à 0,2.

Ainsi, la probabilité pour qu'à l'instant $t=1$ le site A soit infecté est égale à 0,2.

\item Pour que les trois sites soient infectés, il faut que l'internaute utilise le chemin $C \rightarrow B\rightarrow A$ (ce qui est impossible car il ne peut pas passer de C à B) ou le chemin $C \rightarrow A \rightarrow B$, avec une probabilité de $0,2\times0,2=0,04$.

\medskip

La probabilité pour que les 3 sites soient infectés à l'instant $t=2$ est égale à 0,04.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
