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% Couleurs

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\definecolor{bleu}{HTML}{0e3e59}
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% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=bleuciel,ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
{\ECFJD\fontsize{16}{14}\selectfont\color{bleu}}
{\thesection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% subsection

\titleformat{\subsection}[block]
{\ECFJD\fontsize{12}{12}\selectfont\color{orangesanguine}}
{\thesubsection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\lhead{}
\cfoot{\ECFJD\Large\color{white}\fcolorbox{bleu}{bleu}{\thepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}

\title{Arithmétique}

Dans ce qui suit, sauf indication contraire, $a$, $b$, $c$ et $n$ sont des entiers relatifs.

\section*{Divisibilité}

\subsection*{Notation}

$
a \text{ divise }b \iff a|b \iff \exists n\in\Z,\ b =a \times n
$


\subsection*{Propriétés}

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{*2{|>{\centering\arraybackslash}m{0.45\textwidth}}|}
\hline
\rowcolor{bleu}
\color{white}\bfseries Transitivité & \color{white}\bfseries  Combinaison linéaire\\
\hline
$\begin{cases}
a|b\\
b|c
\end{cases}
\Longrightarrow 
a|c$
&
$\begin{cases}
a|b\\
a|c
\end{cases}
\Longrightarrow
\forall (\lambda,\mu)\in\Z,\ a|(\lambda b+\mu c)
$\\
\hline
\end{tabular}

\subsection*{Division euclidienne}

$
\forall (a;b)\in\N\times\N,\ \exists !~ (q;r)\in\N\times\N,\ a = bq+r,\quad 0\leqslant r < b
$

\subsection*{Congruences}

$
a\text{ est congru à }b\text{ modulo }c \iff a = b+nc\ (0\leqslant b<c) \iff a\equiv b\mod c
$

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $a\equiv b\mod n \iff n|(a-b)$

\item[$\bullet$] $\begin{cases}a\equiv c\mod n\\c\equiv b\mod n\end{cases} \iff a \equiv b \mod n$

\item[$\bullet$] $a\equiv b\mod n \iff \forall k\in\Z,\ \begin{cases} a+k \equiv b+k \mod n \\ ka \equiv kb \mod n\\ a^k \equiv b^k \mod n\quad (k\in\N)\end{cases}$

\item[$\bullet$] $\begin{cases}a\equiv b \mod n\\a'\equiv b' \mod n\end{cases} \iff \begin{cases} a+a' \equiv b+b' \mod n \\ aa' \equiv bb' \mod n \end{cases}$
\end{itemize}

\section*{PGCD}

\subsection*{Propriétés}

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $a=bq+r,\ 0 \leqslant r < b$, $q\in\Z \iff \pgcd{a}{b} = \pgcd{b}{r}$

\item[$\bullet$] Les diviseurs communs à $a$ et $b$ divisent $\pgcd{a}{b}$

\item[$\bullet$] $\begin{cases}
d|a\\
d|b
\end{cases} \Longrightarrow d|\pgcd{a}{b}$

\item[$\bullet$] $\exists (a',b') \in\Z\times\Z,\ \begin{cases}
a = a' \times \pgcd{a}{b}\\
b = b' \times \pgcd{a}{b}
\end{cases}$ avec $\pgcd{a'}{b'}=1$.

\item[$\bullet$] $a$ et $b$ premiers entre eux $\iff \pgcd{a}{b}=1$
\end{itemize}

\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
\subsection*{Théorème de Bézout}

$
\pgcd{a}{b}=1 \iff \exists (u;v)\in\Z^2,\ au+bv=1
$

\medskip

\subsubsection*{Corollaire}

$
\pgcd{a}{b}=d \iff \begin{cases}
d|a\text{ et } d|b\\
\exists\coord{u}{v}\in\Z^2,\ au+bv=d.
\end{cases}
$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
\subsection*{Théorème de Gauss}

$\begin{cases}
a|bc\\
\pgcd{a}{b}=1
\end{cases} \Longrightarrow a|c$
\end{minipage}

\section*{Nombres premiers}

Un entier naturel est premier s'il n'est divisible que par 1 et lui-même.

L'ensemble des nombres premiers est souvent noté $\mathbb{P}$.

\subsection*{Théorèmes}

\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $\mathbb{P}$ est infini.
\item[$\bullet$] $n\in\N*$ n'est divisible par aucun nombre premier inférieur à $\sqrt{n} \Longrightarrow n\in\mathbb{P}$.

\paragraph*{Exemple:} $\sqrt{137} \approx 11,7$ et 137 n'admet aucun diviseurs premiers inférieurs à 11,7 donc 137 est un nombre premier.
\end{itemize}

\subsection*{Décomposition en produit de facteurs premiers}

Tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 peut s'écrire sous la forme:
\[
n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \cdots \times p_k^{\alpha_k}
\]
où $k$ est un entier naturel non nul et $p_i\in\mathbb{P}$ pour $1\leqslant i\leqslant k$.

\subsection*{Petit théorème de Fermat}

$
\begin{cases}
p \in\mathbb{P}\\
a \in\N,\ a\not\equiv 0\mod p
\end{cases}
\Longrightarrow
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
$

\paragraph*{Exemple:} $a=27$, $p=5$. $p$ est premier et $a$ n'est pas divisible par $p$ donc $27^{5-1} \equiv 1 \mod 5$.

\end{document}