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% Couleurs

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\definecolor{bleu}{HTML}{0e3e59}
\definecolor{orangesanguine}{HTML}{b43f0b}
\definecolor{vert}{HTML}{287f13}

% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=bleuciel,ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel, text width=0.5\linewidth] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below, outer ysep=5mm] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
{\ECFJD\fontsize{16}{14}\selectfont\color{bleu}}
{\thesection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% subsection

\titleformat{\subsection}[block]
{\ECFJD\fontsize{12}{12}\selectfont\color{orangesanguine}}
{\thesubsection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\lhead{}
\cfoot{}
%\cfoot{\ECFJD\Large\color{white}\fcolorbox{bleu}{bleu}{\thepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

\DeclareMathOperator{\Card}{\text{Card}}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}


\title{Combinatoire et\\dénombrement}

\section*{Principes de base}

\subsection*{Cardinal d'un ensemble A}
C'est le nombre d'éléments de l'ensemble A. On le note $\Card(A)$.
\paragraph*{Exemple:} $A = \{2;3;5;7\}$; $\Card(A)=4$ car il y a 4 éléments dans l'ensemble $A$.

\begin{multicols}{2}
\subsection*{Principe additif}
\[
\boxed{A \cap B \neq \varnothing \Rightarrow \Card(A\cup B)=\Card(A) + \Card(B)}
\]
Il représente le nombre de façons de choisir un élément\\
qui est dans $A$ ou dans $B$.
\paragraph*{Exemple:} dans ma bibliothèque, il y a 20 romans et 10 bandes dessinées.\\
Je peux donc y choisir un livre de $20+10=30$ façons différentes.
\columnbreak
\subsection*{Principe multiplicatif}
\[
\boxed{\Card(A\times B) = \Card(A) \times \Card(B)}
\]
Il représente le nombre de façons de choisir un élément\\
dans $A$ puis un autre dans $B$.
\paragraph*{Exemple:} dans ma bibliothèque, il y a 20 romans et 10 bandes dessinées.\\
Je souhaite prendre un livre de chaque sorte. Il y a donc $20\times10=200$ possibilités.
\end{multicols}

\section*{Dénombrement}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (tab) {
\begin{tabular}{%
|>{\columncolor{bleu}\color{white}}S{m{37mm}}%
|>{\centering\arraybackslash}S{m{15mm}}%
|>{\centering\arraybackslash}S{m{2cm}}%
|>{\centering\arraybackslash}S{m{3.7cm}}
|>{\centering\arraybackslash}S{m{3cm}}|}
\rowcolor{bleu}\hline
~ &\color{white} \raisebox{2mm}{\textbf{Ordre}} &\color{white} \raisebox{2mm}{\textbf{Tirage}} &\color{white} \raisebox{2mm}{\textbf{Exemples}} & \color{white} \raisebox{2mm}{\textbf{Formules}}\\
 \hline
 Permutation & oui & sans remise & anagramme & $n!$ \\
 \hline
 $\pmb{p}$\textbf{-liste} & oui & avec remise  & digicode & $n^p$\\
 \hline
 \textbf{Arrangement} $\pmb{A_n^p}$ & oui & sans remise &podium d'une course & $\dfrac{n!}{(n-p)!}$\\
 \hline
 \textbf{Combinaison} $\pmb{\dbinom{n}{p}}$  & \raisebox{-2mm}{non} & \raisebox{-2mm}{\begin{minipage}{20mm}\centering sans remise\end{minipage}} & \raisebox{-2mm}{\begin{minipage}{37mm}\centering main dans un jeu de cartes\end{minipage}} & $\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$\\
 \hline
 \textbf{Produit cartésien} & non & sans remise & bibliothèque & $n \times m$\\
 \hline
\end{tabular}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{document}