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% Couleurs

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\definecolor{bleu}{HTML}{0e3e59}
\definecolor{orangesanguine}{HTML}{b43f0b}
\definecolor{vert}{HTML}{287f13}

% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=bleuciel,ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
{\ECFJD\fontsize{16}{14}\selectfont\color{bleu}}
{\thesection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% subsection

\titleformat{\subsection}[block]
{\ECFJD\fontsize{12}{12}\selectfont\color{orangesanguine}}
{\thesubsection}
{1em}
{\ECFJD}
\setlength{\parindent}{0pt}

%%% paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\lhead{}
\cfoot{\ECFJD\Large\color{white}\fcolorbox{bleu}{bleu}{\thepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}

\title{Continuité de fonctions}

\section*{Définition}

Une fonction $f$ est \textit{continue} sur un intervalle $I$ si, pour tout $a$ de $I$ $\limite[x<a]{x}{a}f(x)=\limite[x>a]{x}{a}f(x)$.

Graphiquement, cela se traduit par le fait que la courbe représentative de $f$ sur $I$ se dessine en un trait (il n'y a pas de trous).

\bigskip

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick,->,>=latex] (-1,0) -- (7,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1) -- (0,7);
\draw[very thick,bleu] (1,-1) .. controls (2,3) and (4,0) .. (6,6);
\draw[line width=1mm,red] (1,0) -- (6,0) node[midway, below] {$I$};
\end{tikzpicture}

\medskip

Cette courbe représente une fonction continue sur $I$\\	
car on peut la tracer sans lever le crayon sur $I$.
\end{center}

\columnbreak

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick,->,>=latex] (-1,0) -- (7,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1) -- (0,7);
\draw[very thick,bleu] (1,-1) .. controls (2,3) and (3,-1) .. (4,7);
\draw[very thick,bleu] (4,-1) .. controls (5,3) and (6,-1) .. (7,-1);
\draw[line width=1mm,red] (1,0) -- (6,0) node[midway, below] {$I$};
\end{tikzpicture}

\medskip

Cette courbe \textbf{ne représente pas} une fonction continue sur $I$\\
car elle est composé de deux morceaux sur $I$.
\end{center}
\end{multicols}

\paragraph*{Remarque:} on parle de continuité sur un ensemble \og en un morceau \fg{} (comme l'ensemble des réels \R ou un intervalle) mais jamais sur une union d'intervalles. 

\section*{Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)}

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $\intervFF{a}{b}$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution sur $\intervFF{a}{b}$.

\subsection*{Corollaire du TVI}

Soit $f$ une fonction définie, continue \textbf{\color{red} et strictement monotone} sur un intervalle $\intervFF{a}{b}$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x)=k$ admet \textbf{\color{red}une unique} solution sur $\intervFF{a}{b}$.

\newpage

\section*{Application du TVI}

On applique le TVI quand on nous demande de démontrer qu'il existe sur un intervalle donné une solution (très souvent unique) à une équation.

\paragraph*{Exemple:} soit $f(x)=x^3-x+1$. Démontrer que l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution sur \intervFF{1}{2}.

\begin{itemize}
\item Il nous faut d'abord les variations de la fonction.

$f'(x)=3x^2-1$, dont les racines sont $x_1=-\dfrac{1}{\sqrt3}$ et $x_2=\dfrac{1}{\sqrt3}$. On en déduit le tableau suivant:

\bigskip

\begin{center}
\begin{minipage}{13cm}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=bleuciel!10,colorC=bleuciel!10,colorV=bleuciel!10]{$x$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1.5}{$-\infty$,$x_1$,$x_2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$f(x_1)$,-/$f(x_2)$,+/$+\infty$}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\qquad
\begin{minipage}{4cm}
$f(x_1)=\dfrac{9+2\sqrt3}{9}\approx1,385$

\bigskip

$f(x_2)=\dfrac{9-2\sqrt3}{9}\approx0,615$
\end{minipage}
\end{center}

\bigskip

$f$ est donc strictement croissante sur \intervFF{1}{2}.

\item $f$ est continue sur \intervFF{1}{2} comme fonction polynôme.

\item $f(1)=1<2$ et $f(2)=7>2$ donc 2 est compris entre $f(1)$ et $f(2)$.
\end{itemize} 

Donc, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=2$ admet une unique solution sur \intervFF{1}{2}.

\paragraph*{Remarque.} le TVI ne permet pas d'avoir une valeur approchée de la solution dans ce cas. Pour l'obtenir, on peut utiliser la calculatrice.
\end{document}