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% Couleurs

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% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=bleuciel,ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
{\ECFJD\fontsize{16}{14}\selectfont\color{bleu}}
{\thesection}
{1em}
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%%% subsection

\titleformat{\subsection}[block]
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{\thesubsection}
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\setlength{\parindent}{0pt}

%%% paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

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\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}

%----------------------------------------------------------
%----------------------------------------------------------

\title{Géométrie dans l'espace}

%----------------------------------------------------------
%----------------------------------------------------------

\section*{Représentation paramétrique d'une droite}

$(d)$ est une droite passant par le point A\coordEsp{x_A}{y_A}{z_A} de vecteur directeur $\vv{u}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$. Sa représentation paramétrique est:
\[
\boxed{
\begin{cases}
x = x_A + at\\
y = y_A + bt\\
z = z_A + ct
\end{cases}, \quad t\in\R
}
\]
Une droite admet une infinité de représentations paramétriques.

\subsection*{Position relative de deux droites}

Soient $(d_1)\;:\;\begin{cases}
x = 3 - t\\
y = -1 + 2t\\
z = 2 - t
\end{cases}, \quad t\in\R$ et  $(d_2)\;:\;\begin{cases}
x = 5 + 2t'\\
y = -5 + 3t'\\
z = 4t'
\end{cases}, \quad t'\in\R$ deux droites.

Pour connaître leur position relative:
\begin{itemize}
\item[\textbullet] \textbf{On commence par vérifier si elles sont parallèles ou orthogonales à l'aide de leur vecteur directeur.}

\medskip

$\vv{u_1}\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}$ est le vecteur directeur de $(d_1)$, $\vv{u_2}\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}$ est celui de $(d_2)$.

$\to$ Ils ne sont pas colinéaires car $\dfrac{-1}{2}\neq \dfrac{2}{3}$.

\smallskip

$\to$ Ils sont orthogonaux car $\vv{u_1}\cdot\vv{u_2}=-1\times2 + 2\times3 + (-1)\times4 = -2+6-4=0$.

\item[\textbullet] \textbf{On regarde ensuite si elles sont sécantes.}

On résout le système : $\begin{cases}
3 - t = 5+2t'\\
-1 + 2t = -5+3t'\\
2 - t = 4t'
\end{cases}$ en résolvant un système formé de deux de ces équations, par exemple:
\begin{align*}
\begin{cases}
3 - t = 5+2t'\\
2 - t = 4t'
\end{cases} & \iff \begin{cases}
2t' + t = -2 & (E_1)\\
4t' + t = 2 & (E_2)
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
2t' + t = -2 & (E_1)\\
2t' = 4 & (E_2) \leftarrow (E_2)-(E_1)
\end{cases}\\
& \iff \begin{cases}
t' = 2 & (E_2)\\
4 + t = -2 & (E_1)
\end{cases}\\
& \iff t=-6\quad,\quad t'=2
\end{align*}
S'il n'y a pas de solutions, les deux droites ne sont pas sécantes.\enlargethispage*{\baselineskip}

S'il y a des solutions, comme ici, on vérifie si la troisième équation est vérifiée:
\[
-1+2t=-5+3t' \iff -1+2\times(-6) = -5+3\times2 \iff -13 = 1
\]
La troisième équation n'est pas vérifiée donc les droites ne sont pas sécantes.

Si la troisième équation avait été vérifiée, les droites auraient été sécantes.
\end{itemize}
\enlargethispage*{5mm}
Donc ici, $(d_1)$ et $(d_2)$ sont orthogonales, sans être perpendiculaires.

\newpage

\section*{\'Equation cartésienne d'un plan}

\[
(\mathcal{P})\;:\; ax+by+cz=0 \iff \vv{n}\begin{pmatrix}
a\\b\\c\end{pmatrix}\text{ est un vecteur normal au plan}.
\]

\subsection*{Position relative de deux plans}

Soient deux plans d'équations cartésiennes respectives : 
$\begin{cases}
(\mathcal{P}_1)\;:\; ax+by+cz=0\\
(\mathcal{P}_2)\;:\; a'x+b'y+c'z=0
\end{cases}$.

\begin{itemize}
\item[$\to$] $(\mathcal{P}_1)~//~(\mathcal{P}_2) \iff \vv{n_1}\text{ et }\vv{n_2}$ sont colinéaires.
\item[$\to$] $(\mathcal{P}_1)~\perp~(\mathcal{P}_2) \iff \vv{n_1}\cdot\vv{n_2}=0$.
\end{itemize}

\paragraph*{Pour savoir si deux plans sont sécants:} on \og résout \fg{} le système formé par les deux équations cartésiennes en conservant une inconnue et en la considérant comme un paramètre (dans l'exemple suivant, $z$ est conservé) :

\begin{align*}
\systeme{2x+3y-z=-5@(E_1),x+y=-1@(E_2)} & \iff \systeme{2x+3y=z-5@(L_1),2x+2y=-2@(L_2)}\\
& \iff \systeme{y=z-3@(L_1)\leftarrow(L_1)-(L_2),x=-1-(z-3)@(L_2)\leftarrow(E_2)\text{ en remplaçant }y}\\
& \iff \systeme{y=z-3,x=-z+2}\quad (z\text{ est considéré comme un paramètre }t)\\
& \iff \systeme{x=2-t,y=-3+t,z=t}\quad,\quad t\in\R
\end{align*}
L'intersection des deux plans existe: c'est la droite passant par le point A\coordEsp{2}{-3}{0} et de vecteur directeur $\vv{u}\coordEsp{-1}{1}{1}$.

\subsection*{Intersection d'un plan et d'une droite}

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $5x+y-z+3=0$
et la droite $\mathcal{D}$ passant par A\coordEsp{0}{1}{3} et de vecteur directeur $\vv{u}\coordEsp{1}{0}{3}$. 

\medskip

\begin{itemize}
\item[\textbullet] \textbf{On vérifie d'abord que $\pmb{\mathcal{P}}$ et $\pmb{\mathcal{D}}$ se coupent en un point.}\\
Un vecteur normal à $\mathcal{P}$ est $\vv{n}\coordEsp{5}{1}{-1}$ ; donc, $\vv{u}\cdot\vv{n}=5\times1+1\times0+(-1)\times3=2\neq0$ donc $\mathcal{D}$ n'est pas parallèle à $\mathcal{P}$ : il y a donc un point unique d'intersection.\\
Appelons-le I.

\medskip

\item[\textbullet] \textbf{Déterminons les coordonnées de I.}\\
La représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ est :
\[
\systeme{x=t,y=1,z=3+3t}\quad,\quad t\in\R.
\]
\'Etant donné que I appartient à $\mathcal{D}$, il existe un réel $k$ tel que I\coordEsp{k}{1}{3k+3}.

\item[] En substituant les valeurs de $x$, $y$ et $z$ en fonction de $k$ dans l'équation cartésienne de $\mathcal{P}$, on a :
\begin{align*}
& 5k+1-(3+3k)+3=0\\
\iff\ & 2k+1=0\\
\iff\ & k=-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
Finalement, on a : I\coordEsp{-\dfrac{1}{2}}{1}{\dfrac{3}{2}}.
\end{itemize}

\section*{Distance}

\subsection*{Entre deux points}
\[
AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}.
\]

\subsection*{D'un point à un plan}

Soit $\mathcal{P}$ un plan d'équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$, et soit A\coordEsp{x_\text{A}}{y_\text{A}}{z_\text{A}} un point quelconque de l'espace. 

La distance du point A au plan $\mathcal{P}$ est :
\[
d\left(\text{A}\mathpunct{};\mathpunct{}\mathcal{P}\right)=\dfrac{|ax_\text{A}+by_\text{A}+cz_\text{A}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
\]
\end{document}