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% Couleurs

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% styles des titres

%%% Titre de la fiche

\renewcommand{\title}[1]{%
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill=bleuciel,ellipse,decorate,decoration={random steps,segment length=3pt,amplitude=2pt}, align=center,inner ysep=5mm, inner xsep=0pt,ball color=bleuciel] (titre) {\ECFJD\Huge #1};
\node[below] (auteur) at (titre.south) {\ECFJD Une fiche de cours de Stéphane Pasquet - Mise à jour : \today};
\node[below] at (auteur.south) {(\url{https://courspasquet.fr})\qquad\qquad(\url{https://mathweb.fr})};
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\end{center}
}

%%% section

\titleformat{\section}[block]
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{1em}
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%%% subsection

\titleformat{\subsection}[block]
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{1em}
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\setlength{\parindent}{0pt}

%%% paragraph

\titleformat{\paragraph}[runin]
{\ECFJD\color{vert}}{\theparagraph}{1em}{}

%%% pied et tête de page

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\begin{document}

\pagestyle{fancy}

\AddToShipoutPictureBG
{%
	\put(\LenToUnit{5mm},\LenToUnit{5mm})
	{%
		\begin{tikzpicture}
		\draw[fill=yellow!10,draw,thick,decorate,decoration = {random steps}] (0,0) rectangle +(\dimexpr\paperwidth-10mm,\dimexpr\paperheight-10mm);
		\end{tikzpicture}
	}
}

\title{Suites}

\section*{Principe de récurrence}

Une propriété $\mathcal{P}_n$ dépendant d'un entier naturel $n$ est vraie pour tout $n \geqslant n_0$ si et seulement si:
\begin{itemize}
\item $\mathcal{P}_{n_0}$ est vraie (initialisation)
\item pour un entier $k\geqslant n_0$ fixé, si on suppose que $\mathcal{P}_k$ est vraie alors $\mathcal{P}_{k+1}$ l'est aussi (hérédité).
\end{itemize}

\paragraph*{Exemple de rédaction.} On considère la propriété $\mathcal{P}_n$ suivante:
\[
\text{Pour tout entier naturel $n$},\quad 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + \cdots + (2n+1)=(n+1)^2.
\]
Démontrons-la par récurrence:

\medskip

\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation} : pour $n=0$, la propriété donne :
\[
1 = (0 + 1)^2
\]
ce qui est vrai.

\item \textbf{Hérédité} : supposons que pour un entier naturel $k$ fixé, $\mathcal{P}_k$ soit vraie. On a alors:
\[
 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + \cdots + (2k+1)=(k+1)^2.
\]
Ainsi, en ajoutant $(2k+3)$ à chaque membre, on obtient:
\begin{align*}
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + \cdots + (2k+1) + (2k+3) & =(k+1)^2 + (2k+3)\\
& = k^2 + 2k + 1 + (2k+3)\\
& = k^2 +4k + 4\\
& = (k+2)^2.
\end{align*}
Cette dernière égalité est exactement $\mathcal{P}_{k+1}$ donc l'hérédité est vérifiée.
\end{itemize}

\medskip

Ainsi, $\mathcal{P}_0$ est vraie et, pour un entier $k$ fixé, $\mathcal{P}_k \Rightarrow \mathcal{P}_{k+1}$.

D'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

\section*{Limites d'une suite}

\subsection*{Convergence et divergence}

On dit qu'une suite \suite{u}{n}{} \textbf{converge} si \limite{n}{+\infty}{u_n} est un nombre fini.

On dit qu'une suite \suite{u}{n}{} \textbf{diverge} si \limite{n}{+\infty}{u_n} n'existe pas.

Si $\limite{n}{+\infty}u_n=-\infty$ ou $\limite{n}{+\infty}u_n=+\infty$, la suite n'est considérée ni comme convergente, ni comme divergente au lycée.

\subsection*{Limites de référence}

\[
\boxed{k\in\N*,\ \limite{n}{+\infty}{n^k}=+\infty}
\qquad
\boxed{k\in\N*,\ \limite{n}{+\infty}{\frac{1}{n^k}}=0}
\qquad
\boxed{\limite{n}{+\infty}\sqrt{n}=+\infty}
\qquad
\boxed{\limite{n}{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0}
\]

\subsection*{Théorème de comparaison}
\begin{itemize}
\item Si, pour tout $n\geqslant n_0$, $\begin{cases}v_n \geqslant u_n\\\limite{n}{+\infty}u_n=+\infty\end{cases}$  alors $\limite{n}{+\infty}{v_n}=+\infty$.

\item Si, pour tout $n\geqslant n_0$, $\begin{cases}v_n \leqslant u_n\\\limite{n}{+\infty}u_n=-\infty\end{cases}$  alors $\limite{n}{+\infty}{v_n}=-\infty$.
\end{itemize}

\subsection*{Théorème d'encadrement (théorème des gendarmes)}
Si, pour tout $n\geqslant n_0$, $\begin{cases}v_n \leqslant u_n \leqslant w_n\\\limite{n}{+\infty}v_n=\limite{n}{+\infty}w_n=\ell\end{cases}$  alors $\limite{n}{+\infty}{u_n}=\ell$ ($\ell$ étant un nombre \underline{fini}).

\subsection*{Limite de q$^\text{n}$}

\begin{itemize}
\item Si $-1 < q < 1$ alors $\limite{n}{+\infty}q^n = 0$.
\item Si $q > 1$ alors  $\limite{n}{+\infty}q^n = +\infty$.
\item Si $q < -1$ alors  $\limite{n}{+\infty}q^n$ n'existe pas.
\end{itemize}

\section*{Suite majorée, suite minorée, suite bornée}

\begin{itemize}
\item Une suite \suite{u}{n}{} est \textit{majorée} par $M$ si tous ses termes sont inférieurs à $M$ : $u_n \leqslant M$ pour tout entier $n$.
\item Une suite \suite{u}{n}{} est \textit{minorée} par $m$ si tous ses termes sont supérieurs à $m$ : $u_n \geqslant m$ pour tout entier $n$.
\item Une suite \suite{u}{n}{} est \textit{bornée} par $m$ et $M$ si tous ses termes sont compris entre $m$ et $M$ : $m \leqslant u_n \leqslant M$ pour tout entier $n$.
\end{itemize}

\subsection*{Théorème de convergence des suites monotones}

\begin{itemize}
\item Toute suite strictement décroissante et minorée converge.
\item Toute suite strictement croissante et majorée converge.
\end{itemize}

\section*{Opérations sur les limites}

\begin{itemize}
\item On peut ajouter deux limites sauf si l'une est \og $+\infty$ \fg{} et l'autre \og $-\infty$ \fg.

\item On peut multiplier deux limites sauf si l'une est \og 0 \fg{} et l'autre \og $\infty$ \fg{} (peu importe le signe).

\item On peut diviser deux limites sauf si elles sont toutes les deux infinies ou si elles sont toutes les deux nulles.
\end{itemize}

Ces cas impossibles sont appelés \og formes indéterminées \fg{} : \[
\boxed{\text{\og $+\infty-\infty$ \fg}}
\qquad
\boxed{\text{\og $0\times\infty$ \fg}}
\qquad
\boxed{\text{\og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg}}
\qquad
\boxed{\text{\og $\dfrac{0}{0}$ \fg}}
\]
\end{document}