
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item $S_1=\dfrac{1}{2!}=\dfrac{1}{2}=1-\dfrac{1}{2}=1-\dfrac{1}{2!}$.
\item $S_2=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}=\dfrac{5}{6}=1-\dfrac{1}{6}=1-\dfrac{1}{3!}$.
\item $S_3=S_2+\dfrac{3}{4!}=\dfrac{23}{24}=1-\dfrac{1}{24}=1-\dfrac{1}{4!}$.
\end{itemize}
On constate alors que $S_n=1-\dfrac{1}{(n+1)!}$ pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$.

\item Démontrons par récurrence cette dernière conjecture. Nous avons réalisé l'initialisation dans la question précédente.

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $S_k=1-\dfrac{1}{(k+1)!}$ (HR). Alors,
\begin{align*}
S_{k+1} & = S_k + \dfrac{k+1}{(k+2)!}\\
& = 1-\dfrac{1}{(k+1)!} + \dfrac{k+1}{(k+2)!}\\
& = 1-\dfrac{1}{(k+1)!}\times\dfrac{k+2}{k+2} + \dfrac{k+1}{(k+2)!}\\
& = 1-\dfrac{k+2}{(k+2)!} + \dfrac{k+1}{(k+2)!}\\
& = 1-\dfrac{1}{(k+2)!}.
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.

La formule est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
\end{enumerate}
