
On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $\dfrac{1}{2}\leqslant u_n \leqslant 1$.

\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}.

$u_0=\dfrac{1}{2}$ donc $\dfrac{1}{2} \leqslant u_0 \leqslant 1$. La propriété est donc vraie pour $n=0$.

\item \textit{Hérédité}.

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $\dfrac{1}{2}\leqslant u_k \leqslant 1$.

Alors,on a:
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}\leqslant u_k \leqslant 1 & \Rightarrow 1+\dfrac{1}{2}\leqslant 1+u_k \leqslant 1+1\\
& \Rightarrow \dfrac{3}{2} \leqslant 1+u_k \leqslant 2\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{2} \leqslant \dfrac{1}{1+u_k} \leqslant \dfrac{2}{3}\\
& \Rightarrow \dfrac{1}{2} \leqslant u_{k+1} \leqslant \dfrac{2}{3}\ {\color{red} \leqslant 1}
\end{align*}
L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}
Ainsi, d'après le principe de récurrence, $\dfrac{1}{2}\leqslant u_n \leqslant 1$ pour tout entier naturel $n$.
