
Posons $P(n)$ la propriété :
\[ (P_n)\: :\: 1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-1)^2+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]
\begin{enumerate}
\item {\bfseries Initialisation.}\\
$S_1=1^2=1$ et $\dfrac{1\times(1+1)(2\times1+1)}{6}=\dfrac{6}{6}=1$.\\
Donc $P(1)$ est vraie.

\medskip

\item {\bfseries Hérédité.}\\
Supposons que pour un entier naturel $k$, la propriété $P(k)$ est vraie (hypothèse de récurrence). Montrons alors que $P(k+1)$ l'est aussi, c'est-à-dire que :
\[ 1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\]
Par hypothèse de récurrence, on a :
\begin{align*}
1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2 & = S_k+(k+1)^2\\[8pt]
& = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\\[8pt]
& = (k+1)\left[\frac{k(2k+1)}{6}+(k+1) \right]\\[8pt]
& = (k+1)\left[\frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6} \right]\\[8pt]
& = \frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}
\end{align*}
\og $k_1=-2$ \fg{} est une racine évidente du polynôme $2k^2+7k+6$ donc la seconde racine $k_2$ est telle que $k_1k_2=\dfrac{c}{a}$, donc $k_2=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{6}{2}=-\dfrac{3}{2}$.\\
Donc $2k^2+7k+6=2\left(k+2\right)\left(k+\frac{3}{2}\right)=(k+2)(2k+3)$.\\
Finalement, on a :
\[ 1^2+2^2+\cdots+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}. \]
L'hérédité est donc vérifiée.

\medskip

\item {\bfseries Conclusion.}\\
Quel que soit l'entier naturel $k \geqslant 1$, $P(k) \Rightarrow P(k+1)$.\\
Ainsi, d'après le principe de récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant 1$.
\end{enumerate}
