
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
a_{n+1} & = u_{n+1}+v_{n+1}\\
& = 0,6u_n+0,3v_n+0,4u_n+0,7v_n\\
& = u_n+v_n\\
& = a_n.
\end{aligned}$

\uline{Ainsi, \suite{a}{n}{} est constante.}

Or, $a_0=u_0+v_0=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$ donc $a_n=1$ pour tout entier naturel $n$.

\item $\begin{aligned}[t]
b_{n+1} & = 4u_{n+1}-3v_{n+1}\\
& = 4(0,6u_n+0,3v_n)-3(0,4u_n+0,7v_n)\\
& = 2,4u_n+1,2v_n-1,2u_n-2,1v_n\\
& = 1,2u_n-0,9v_n\\
& = 0,3\left(4u_n-3v_n\right)\\
& = 0,3b_n.
\end{aligned}$

Ainsi, \uline{\suite{b}{n}{} est une suite géométrique} de raison $q=0,3$ et de premier terme :
\begin{align*}
b_0 & =4u_0-3v_0\\
& = 4\times0,5-3\times0,5\\
b_0 & = 0,5.
\end{align*}

\item D'après la question précédente, on peut écrire :
\[
\forall n\in\N,\ b_n=\dfrac{1}{2}(0,3)^n.
\]
De plus, on a :
\begin{align*}
\left\lbrace
\begin{array}{l}
a_n=u_n+v_n\\
b_n=4u_n-3v_n
\end{array}
\right. &
\iff\
\left\lbrace
\begin{array}{l}
3a_n=3u_n+3v_n\\
b_n=4u_n-3v_n
\end{array}
\right.\\
 & \iff\
\left\lbrace
\begin{array}{l}
b_n=4u_n-3v_n\\
3a_n+b_n=7u_n
\end{array}
\right.\\
& \iff\
\left\lbrace
\begin{array}{l}
3v_n=4\left(\frac{3}{7}a_n+\frac{1}{7}b_n\right)-b_n\\[8pt]
u_n=\frac{3}{7}a_n+\frac{1}{7}b_n
\end{array}
\right.\\
& \iff\
\left\lbrace
\begin{array}{l}
v_n=\frac{4}{7}a_n-\frac{1}{7}b_n\\[8pt]
u_n=\frac{3}{7}a_n+\frac{1}{7}b_n
\end{array}
\right.\\
& \iff\
\left\lbrace
\begin{array}{l}
v_n=\frac{4}{7}-\frac{1}{14}(0,3)^n\\[8pt]
u_n=\frac{3}{7}+\frac{1}{14}(0,3)^n
\end{array}
\right.\\
\end{align*}

\item $\limite{n}{+\infty}{(0,3)^n}=0$ car $0<0,3<1$.\\
Ainsi, $\boxed{\limite{n}{+\infty}{(u_n)}=\dfrac{3}{7}}$.
\end{enumerate}
