
\begin{enumerate}
\item Posons:
\begin{multicols}{2}
$u(x)=\big(\ln x\big)^n$

$v'(x) = x$

\columnbreak

$u'(x)=\dfrac{n\big(\ln x\big)^{n-1}}{x}$

$v(x)=\dfrac{1}{2}x^2$
\end{multicols}

Alors,
\begin{align*}
I_n & = \big[(uv)(x)\big]_1^\e - \dint_1^\e u(x)v'(x)\dx\\
    & = \left[ \dfrac{1}{2}x^2\big(\ln x\big)^n\right]_1^\e - \dfrac{n}{2}\dint_1^\e x\big(\ln x\big)^{n-1}\dx\\
\Aboxed{I_n & = \dfrac{\e^2}{2}-\dfrac{n}{2}I_{n-1}}
\end{align*}

\item Nous avions trouvé dans l'exercice précédent :
\begin{itemize}
\item $I_1 = \dfrac{\e^2}{4}+\dfrac{1}{4}$;
\item $I_2 = \dfrac{\e^2}{4} - \dfrac{1}{4}$.
\end{itemize}

À l'aide de la relation de récurrence trouvée à la question précédente, on déduit:
\begin{itemize}
\item $I_3 = \dfrac{\e^2}{2} - \dfrac{3}{2}\times I_2 = \dfrac{\e^2}{2} - \dfrac{3}{2}\times\left(\dfrac{\e^2}{4} - \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{\e^2}{8}+\dfrac{3}{8}$;
\item $I_4 = \dfrac{\e^2}{2} - \dfrac{4}{2}\left(\dfrac{\e^2}{8}+\dfrac{3}{8}\right) = \dfrac{\e^2}{4}-\dfrac{3}{4}$;
\item $I_5 = \dfrac{\e^2}{2} - \dfrac{5}{2}\left(\dfrac{\e^2}{2}-\dfrac{3}{4}\right) = -\dfrac{\e^2}{8}+\dfrac{15}{8}$.
\end{itemize}

\item De la relation de récurrence $I_n = \dfrac{\e^2}{2}-\dfrac{n}{2}I_{n-1}$ et de la supposition que $I_n=  a_n\e^2 + b_n$, nous pouvons déduire:
\begin{align*}
I_{n+1} & = \dfrac{\e^2}{2} - \dfrac{n+1}{2}I_n\\
	    & = \dfrac{\e^2}{2} - \dfrac{n+1}{2}( a_n\e^2 + b_n )\\
	    & = \dfrac{\e^2}{2} - \dfrac{(n+1)a_n}{2}\e^2 - \dfrac{n+1}{2}b_n\\
	    & = \dfrac{1-(n+1)a_n}{2}\e^2 - \dfrac{n+1}{2}b_n.
\end{align*}
Or,
\[
I_{n+1} = a_{n+1}\e^2 + b_{n+1}.
\]
Ainsi, par identification, on a:
\[
\boxed{a_{n+1} = \dfrac{1-(n+1)a_n}{2}\qquad\text{et}\qquad b_{n+1} = - \dfrac{n+1}{2}b_n}
\]

\item $b_1 = \dfrac{1}{4}$ et $(-1)^{1+1}\dfrac{1!}{2^{1+1}}=\dfrac{1}{4}$ donc la propriété à démontrer est vraie pour $n=1$.

Supposons qu'elle le soit pour un entier $k\geqslant1$ fixé, c'est-à-dire que :
\[
b_k = (-1)^{k+1}\dfrac{k!}{2^{k+1}}.\tag{HR}
\]
Alors,
\begin{align*}
b_{k+1} & = -\dfrac{1}{2}(k+1)b_{k+1}\text{ d'après la relation de récurrence sur }(b_n)\\
        & = -\dfrac{1}{2}(k+1)\times(-1)^{k+1}\dfrac{k!}{2^{k+1}}\\
        & = (-1)^{k+2}\dfrac{k! \times (k+1)}{2 \times 2^{k+1}}\\
        & = (-1)^{k+2}\dfrac{(k+1)!}{2^{k+2}}.
\end{align*}

La propriété est donc héréditaire.

\medskip

\uline{Ainsi, la propriété est vraie pour tout entier $n\geqslant1$.}

\item Cette question est très difficile. Il est donc normal d'avoir des difficultés à écrire un tel programme. J'ai décidé d'utiliser les formules explicites de $a_n$ et $b_n$ pour trouver la valeur exacte de $I_n$, pour un entier $n\geqslant1$ donné. Cela donne par exemple :

\begin{python}
from fractions import Fraction

def factorielle(n):
    if n == 0:
        return 1
    return n * factorielle(n-1)

def a(n):
    a = Fraction(0,1)
    for k in range(1,n-1):
        a += Fraction((-1)**k , 2**(k+1) * factorielle(n-k) )
    a = Fraction(1,2) + factorielle(n) * a + Fraction(factorielle(n) * (-1)**(n+1) , 2**(n+1))
    return a

def b(n):
    return Fraction( (-1)**(n+1) * factorielle(n) , 2**(n+1) )

n = int(input("Entrez un entier n supérieur ou égal à 1 : "))
print("I({}) = {}exp(2)/{} + {}/{}".format(n, a(n).numerator, a(n).denominator, b(n).numerator, b(n).denominator))
\end{python}
\begin{console}
Entrez un entier n supérieur ou égal à 1 : 7
I(7) = -41exp(2)/16 + 315/16

Entrez un entier n supérieur ou égal à 1 : 11
I(11) = -21101exp(2)/16 + 155925/16
\end{console}
\end{enumerate}
