
\begin{enumerate}
\item Par construction, OM = ON = 60 mm, donc OMN est isocèle en O.

\item MON est isocèle en O donc le pied de la hauteur issue de O est le milieu de [MN].

Dans le triangle OIM rectangle en I, on a :
\[ \sin\angle{MOI}=\dfrac{IM}{OM},\]
soit :
\[ \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{\frac{MN}{2}}{60},\]
ou encore :
\[ \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{MN}{120}.\]
\item
\begin{enumerate}
\item $f'(x)=1-\cos x$. Or, $x\in\intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}} \Rightarrow 0 \leqslant \cos x \leqslant 1$, donc $0\leqslant f'(x)\leqslant 1$. $f'(x)$ est donc positive, ce qui implique que $f$ est croissante sur \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}.\\
$f(0)=0-\sin 0=0$ et $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}-1$.\\
Ainsi, sur \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}, $f(x)\in\intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}-1}$.
\item De la question précédente, on peut déduire que pour $x\in\intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}$, la différence entre $x$ et $\sin x$ est inférieure à $\dfrac{\pi}{2}-1$, soit approximativement $0,57$, ce qui est relativement peu. On peut donc remplacer $\sin x$ par $x$ en ne commettant qu'une erreur faible si $x\in\intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}$.
\end{enumerate}
\item De la question précédente, on peut écrire :
\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{360}\alpha\right) \approx \dfrac{\pi}{360}\alpha\]
et donc, d'après la question 2 :
\[ \dfrac{\pi}{360}\alpha \approx\dfrac{\text{MN}}{120}.\]
Or,
\[ \pi\approx3\]
d'où :
\[ \alpha\approx\text{MN}.\]
\item La formule d'Al-Kashi nous donne :
\[
\text{MN}^2=60^2+60^2-2\times60\times60\times\cos\alpha,
\]
soit :
\[
g(\alpha)=60\sqrt{2-2\cos\alpha}.
\]

\newpage

\item La courbe représentative de la fonction $d$ est :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[xscale=0.1,yscale=0.8, every node/.style={outer sep = 2mm}]
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (100,0) node[below left] {$\alpha$};
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-1.5) -- (0,5.5);
\foreach\x in {10,20,30,40,50,60,70,80,90}
{
	\draw[thick] (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below] {\x};
}
\foreach\y in {-1,0,1,2,3,4,5}
{
	\draw[thick] (1,\y) -- (-1,\y) node[left] {\y};
}
\draw[thick,color=cyan] plot[domain=0:90,samples=100] (\x,{\x-60*sqrt(2-2*cos(\x))});
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On constate que pour $\alpha\in\intervFF{0}{70}$, $\vert d(\alpha)\vert\leqslant1$, ce qui signifie que la différence entre $\alpha$ et $g(\alpha)$ ne diffère pas plus de 1\degres{}. De plus, pour $\alpha\in\intervFF{70}{90}$, cette différence n'excède pas 5\degres{}, ce qui n'est pas énorme. L'approximation peut donc \^etre considérée comme satisfaisante.
\end{enumerate}
