
\begin{enumerate}
\item Posons $\mathcal{P}(n): 4^n-3n-1=9p$, où $p$ est un entier relatif.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

Pour $n=0$, on a:
\[
4^n-3n-1=4^0-3\times0-1=1-1=0 = 9\times 0.
\]
Ainsi, $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

\bigskip


\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k$ arbitrairement fixé, $\mathcal{P}(k)$ est vraie.

Montrons alors que $\mathcal{P}(k+1)$ est aussi vraie, c'est-à-dire que:

$4^{k+1} - 3(k+1) - 1 = 9p$, soit $4^{k+1} - 3k - 4 = 9p$, où $p$ est un entier relatif.
\begin{align*}
\mathcal{P}(k) \text{ vraie} & \Rightarrow 4^k-3k-1=9p\\
& \Rightarrow 4\times(4^k-3k-1) = 4\times 9p\\
& \Rightarrow 4^{k+1} {\color{red}-12k} - 4 = 4\times9p\\
& \Rightarrow 4^{k+1} {\color{red}- 3k - 9k} - 4 = 4\times9p\\
& \Rightarrow 4^{k+1} - 3k - 4 = 4\times9p +9k\\
& \Rightarrow 4^{k+1} - 3k - 4 = 9(4p+k)\\
& \Rightarrow \mathcal{P}(k+1) \text{ vraie}.
\end{align*}
En effet, $4p+k$ est un entier relatif (car c'est une combinaison linéaire de deux entiers relatifs).

\item \textbf{Conclusion.}

$\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}(k) \text{ vraie} \Rightarrow \mathcal{P}(k+1) \text{ vraie}$ donc, d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$, à savoir que:
\[
\forall n\in\N,\qquad 4^n-3n-1 \text{ est un multiple de 9}.
\]
\end{itemize}

\newpage

\item Posons $\mathcal{P}(n):7\times3^{5n}+4=11p$, où $p$ est un entier naturel (non nul).
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

Pour $n=0$, on a:
\[
7\times3^{5n}+4=7\times3^0+4=7+4=11=11\times1.
\]
Ainsi, $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

\bigskip

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k$ arbitrairement fixé, $\mathcal{P}(k)$ est vraie.

Montrons alors que $\mathcal{P}(k+1)$ est aussi vraie, c'est-à-dire que:
\[
7\times3^{5(k+1)}+4=11p.
\]
\begin{align*}
\mathcal{P}(k)\text{ vraie} & \Rightarrow 7\times3^{5k}+4=11p\\
& \Rightarrow 3^5\times\big(7\times3^{5k}+4\big)=3^5\times11p\\
& \Rightarrow 7\times3^{5k}\times3^5 + 4\times3^5 = 11\times3^5p\\
& \Rightarrow 7\times3^{5k+5} + {\color{red}972} = 11\times3^5k\\
& \Rightarrow 7\times3^{5(k+1)} + {\color{red}4 + 968} = 11\times3^5k\\
& \Rightarrow 7\times3^{5(k+1)} + 4 = 11\times3^5k-{\color{blue}968}\\
& \Rightarrow 7\times3^{5(k+1)} + 4 = 11\times3^5k-{\color{blue}11\times88}\\
& \Rightarrow 7\times3^{5(k+1)} + 4 = 11\times\big(3^5k-88\big)\\
& \Rightarrow \mathcal{P}(k+1) \text{ vraie}.
\end{align*}

\item \textbf{Conclusion.}

$\mathcal{P}(0)$ est vraie et $\mathcal{P}(k) \text{ vraie} \Rightarrow \mathcal{P}(k+1) \text{ vraie}$ donc, d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$, à savoir que:
\[
\forall n\in\N,\quad 7\times3^{5n}+4\text{ est un multiple de 11}.
\]
\end{itemize}
\end{enumerate}
