
On cherche un entier $n$ tel que:
\[
P\big( |M_n - 0,3| \geqslant 0,1 \big) \leqslant 0,5.
\]
Notons $X_k$ le nombre de points gagnés au $k$-ième tirage, $1\leqslant k\leqslant n$.

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$X_k$ suit la loi de Bernoulli de probabilité $p=\dfrac{3}{10}=0,3$ et de variance $\sigma^2 = 0,3\times(1-0,3)=0,21$.

De plus, par définition, les $X_k$ sont indépendantes donc on peut utiliser la propriété du cours sur l'inégalité de concentration sur la moyenne:

\[
P\left( \left| M_n - 0,3 \right| \geqslant 0,1 \right) \leqslant \dfrac{0,21}{0,1^2n}.
\]

On souhaite que $P\left( \left| M_n - 0,3 \right| \geqslant 0,1 \right) \leqslant 0,5$ donc il suffit de choisir $n$ tel que :
\begin{align*}
\dfrac{0,21}{0,1^2n} \leqslant 0,5 & \iff \dfrac{0,1^2n}{0,21} \geqslant \dfrac{1}{0,5}\\[1em]
& \iff 0,1^2n \geqslant \dfrac{1}{0,5}\times0,21\\
& \iff n \geqslant \dfrac{1}{0,5}\times\dfrac{0,21}{0,1^2}\\[1em]
& \iff n \geqslant 42.
\end{align*}
