
\begin{enumerate}
\item On peut \og couper \fg{} la somme désignant l'espérance de $X$ en deux sommes : la première comportant toutes les valeurs de $X$ inférieures strictement à $a$ et la seconde comportant les valeurs de $X$ supérieures ou égales à $a$, ce qui donne:
\[
E(X) = \sum_{x_k \geqslant a} x_kP(X=x_k) \quad + \quad \sum_{x_k < a} x_kP(X=x_k).
\]

\item On sait que $X \geqslant 0$ donc, pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n$, $x_k \geqslant 0$. De plus, une probabilité est toujours supérieure ou égale à 0.

Ainsi, pour tout entier $k\in[1;n]$, $x_kP(X=x_k)\geqslant0$, ce qui implique que:
\[
\sum_{x_k < a} x_kP(X=x_k) \geqslant 0.
\]

\item De la question précédente, on déduit que:
\[
E(X) \geqslant \sum_{x_k \geqslant a} x_kP(X=x_k).
\]
Or, dans cette somme, $x_k \geqslant a$, ce qui implique:
\[
E(X) \geqslant \sum_{x_k \geqslant a} aP(X=x_k)
\]
soit:
\[
E(X) \geqslant a\sum_{x_k \geqslant a} P(X=x_k).
\]
De plus, par définition:
\[
\sum_{x_k \geqslant a} P(X=x_k) = P(X \geqslant a)
\]
ce qui implique alors:
\[
E(X) \geqslant aP(X \geqslant a).
\]
On en déduit alors, en divisant par $a\neq0$:
\[
\dfrac{E(X)}{a} \geqslant P(X \geqslant a).
\]
\end{enumerate}
