
\begin{enumerate}
\item Commençons par poser $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de pièces sortant de l'usine en l'espace d'une semaine.

D'après l'inégalité de Markov,
\[
P(X > 75) \leqslant \dfrac{50}{75}
\]
soit :
\[
P(X > 75) \leqslant 0,67.
\]

\item On souhaite une minoration de:
\[
P( 41 \leqslant X \leqslant 59) = P(50-9 \leqslant X \leqslant 50+9) = P(|X-50| \leqslant 9).
\]

\medskip

L'inégalité de Bienaymé-Tchebytchev donne:
\[
P\big( | X-50| \geqslant 10\big) \leqslant \dfrac{25}{10^2}
\]
soit:
\[
P\big( | X-50| \geqslant 10\big) \leqslant 0,25.
\]
On en déduit alors que:
\[
1-P\big( | X-50| < 10\big) \leqslant 0,25
\]
et donc:
\[
P\big( | X-50| \leqslant 9 \big) \geqslant 0,75.
\]
La probabilité pour que la production de la semaine suivante soit comprise entre 41 et 59 est donc au moins de 75\%.
\end{enumerate}
