
\begin{enumerate}
\item $\limite{x}{+\infty}{\big( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-1} \big)}$.
\begin{align*}
\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1} & = \dfrac{\big(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}\big)\big(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}\big)}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}}\\
& = \dfrac{x+2-(x-1)}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}}\\
& = \dfrac{3}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}}.
\end{align*}
Or, $\limite{x}{+\infty}{\sqrt{x+2}}=+\infty$ et $\limite{x}{+\infty}{\sqrt{x-1}}=+\infty$ donc $\limite{x}{+\infty}{\big(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-1}\big)}=+\infty$.

Ainsi, $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{3}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-1}}}=0$.

On en déduit alors que $\boxed{ \limite{x}{+\infty}{\big( \sqrt{x+2}-\sqrt{x-1} \big)} = 0}$

\item $\limite{x}{+\infty}{\big( \sqrt{x^2+3x+1} - \sqrt{2x^2+x+1} \big)}$.
\begin{align*}
\sqrt{x^2+3x+1} - \sqrt{2x^2+x+1}  & = \dfrac{\big(\sqrt{x^2+3x+1} - \sqrt{2x^2+x+1} \big)\big( \sqrt{x^2+3x+1} + \sqrt{2x^2+x+1} \big)}{\sqrt{x^2+3x+1} + \sqrt{2x^2+x+1} }\\
& = \dfrac{x^2+3x+1-(2x^2+x+1)}{\sqrt{x^2+3x+1} + \sqrt{2x^2+x+1} }\\
& = \dfrac{-x^2+2x}{\sqrt{x^2+3x+1} + \sqrt{2x^2+x+1} }
\end{align*}

\begin{align*}
\sqrt{x^2+3x+1} - \sqrt{2x^2+x+1} & = \dfrac{x^2\left(-1+\frac{2}{x}\right)}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}\right)} + \sqrt{x^2\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}\right)} }\\
& = \dfrac{x^2\left(-1+\frac{2}{x}\right)}{x\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}} + x\sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}} },\text{ pour }x>0\\
& = \dfrac{\cancel{x} \times x\left(-1+\frac{2}{x}\right)}{\cancel{x}\left[\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}} + \sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}} \right] },\text{ pour }x>0\\
& = \dfrac{x\left(-1+\frac{2}{x}\right)}{\sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}} + \sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}}},\text{ pour }x>0
\end{align*}

On sait que $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{1}{x^n}}=0$ pour $n\in\N$ donc:
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{+\infty}{x\left(-1+\frac{2}{x}\right)}=-\infty$ (par produit)
\item $\limite{x}{+\infty}{\left( \sqrt{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}} + \sqrt{2+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}} \right)}=1+\sqrt2 > 0$
\end{itemize}
Donc, par quotient, on déduit que:
\[
\boxed{\limite{x}{+\infty}{\big( \sqrt{x^2+3x+1} - \sqrt{2x^2+x+1} \big)} = -\infty}
\]

\item $\limite{x}{-\infty}{\big( \sqrt{3-x} - \sqrt{x^2-3} \big)}$.
\begin{align*}
\sqrt{3-x} - \sqrt{x^2-3} & = \dfrac{\big(\sqrt{3-x} - \sqrt{x^2-3}\big)\big(\sqrt{3-x} + \sqrt{x^2-3}\big)}{\sqrt{3-x} + \sqrt{x^2-3}}\\
& = \dfrac{3-x-x^2+3}{\sqrt{3-x} + \sqrt{x^2-3}}\\
& = \dfrac{-x^2-x+6}{\sqrt{3-x} + \sqrt{x^2-3}}\\
& = \dfrac{x^2\left(-1-\frac{1}{x}+\frac{6}{x}\right)}{\sqrt{x^2\left(\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}\right)} + \sqrt{x^2\left(1-\frac{3}{x}\right)}}\\
& = \dfrac{ x^2\left(-1-\frac{1}{x}+\frac{6}{x}\right)}{ \sqrt{x^2}\left[ \sqrt{\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{3}{x}} \right]}\\
& = \dfrac{ x^2\left(-1-\frac{1}{x}+\frac{6}{x}\right)}{ -x\left[ \sqrt{\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{3}{x}} \right]},\quad\text{ pour }x<0\\
& = \dfrac{ -x\left(-1-\frac{1}{x}+\frac{6}{x}\right)}{ \sqrt{\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{3}{x}} },\quad\text{ pour }x<0\\
\end{align*}

\begin{attention}
On calcule une limite en $-\infty$ donc on prendra les calculs en considérant que $x<0$.
\end{attention}

\begin{itemize}
\item $\limite{x}{-\infty}{\left[-x\left(-1-\frac{1}{x}+\frac{6}{x}\right)\right]}=-\infty$ (par produit)
\item $\limite{x}{-\infty}{\left( \sqrt{\frac{3}{x^2}-\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{3}{x}} \right)}=1$
\end{itemize}
Ainsi, par quotient,
\[
\boxed{\limite{x}{-\infty}{\big( \sqrt{3-x} - \sqrt{x^2-3} \big)} = -\infty}
\]

\item $\limite{x}{-\infty}{\big( \sqrt{5-x}-\sqrt{10-x} \big)}$.
\begin{align*}
\sqrt{5-x}-\sqrt{10-x} & = \dfrac{\big(\sqrt{5-x}-\sqrt{10-x}\big)\big(\sqrt{5-x}+\sqrt{10-x}\big)}{\sqrt{5-x}+\sqrt{10-x}}\\
& = \dfrac{5-x-10+x}{\sqrt{5-x}+\sqrt{10-x}}\\
& = \dfrac{-5}{\sqrt{5-x}+\sqrt{10-x}}.
\end{align*}
$\limite{x}{-\infty}{\sqrt{5-x}}=\limite{x}{-\infty}{\sqrt{10-x}}=+\infty$ donc par somme,
\[
\limite{x}{-\infty}{\big(\sqrt{5-x}+\sqrt{10-x}\big)}=+\infty.
\]
De plus, $\limite{X}{+\infty}{\left(\dfrac{-5}{X}\right)}=0$, en considérant que $X=\sqrt{5-x}+\sqrt{10-x}$. Ainsi,
\[
\boxed{ \limite{x}{-\infty}{\big( \sqrt{5-x}-\sqrt{10-x} \big)} = 0}
\]
\end{enumerate}

