
\begin{enumerate}
\item $\limite[x<2]{x}{2}{\dfrac{3x-5}{x-2}}$.
\begin{itemize}
\item $\limite[x<2]{x}{2}{(3x-5)}=3\times2-5=1>0$
\item $\limite[x<2]{x}{2}{(x-2)}=0^-$ (\og 0 \fg{} par valeurs négatives)
\end{itemize}
Or, $\limite[X<0]{X}{0}{\dfrac{1}{X}}=-\infty$ donc:
\[
\boxed{ \limite[x<2]{x}{2}{\dfrac{3x-5}{x-2}} = -\infty }
\]
\begin{rem}
Comment peut-on écrire que $\limite[x<2]{x}{2}{(x-2)}=0^-$ ? Il suffit juste de prendre une valeur de $x$ inférieure à 2 (par exemple, $x=0$) et de regarder le signe de l'expression: $0-2=-2<0$. Le \og signe du 0 \fg{} sera donc négatif.
\end{rem}

\item $\limite[x>3]{x}{3}{\dfrac{x-9}{x-3}}$.
\begin{itemize}
\item $\limite[x>3]{x}{3}{(x-9)}=3-9=-6<0$
\item $\limite[x>3]{x}{3}{(x-3)}=0^+$
\end{itemize}
Or, $\limite[X>0]{X}{0}{\dfrac{-6}{X}}=-\infty$ donc:
\[
\boxed{ \limite[x>3]{x}{3}{\dfrac{x-9}{x-3}} = -\infty }
\]

\item $\limite[x<5]{x}{5}{\dfrac{x^2+x+1}{2x^2-9x-5}}$.

\begin{itemize}
\item $\limite[x<5]{x}{5}{(x^2+x+1)}=5^2+5+1=31>0$
\item Remarquons que les racines de $2x^2-9x-5$ sont $-\dfrac{1}{2}$ et 5.

Par conséquent, $\limite[x<5]{x}{5}{(2x^2-9x-5)}=0^-$ car en prenant $x=0$ (entre les racines), on trouve $-5<0$.
\end{itemize}
Ainsi,
\[
\boxed{ \limite[x<5]{x}{5}{\dfrac{x^2+x+1}{2x^2-9x-5}} = -\infty }
\]

\item $\limite[x>1]{x}{1}{\dfrac{3x^2-5x+2}{x^2+8x-9}}$.
\begin{itemize}
\item $\limite[x>1]{x}{1}{(3x^2-5x+2)}=0$
\item $\limite[x>1]{x}{1}{(x^2+8x-9)}=0$
\end{itemize}
Par conséquent, \og 1 \fg{} est une racine du numérateur et du dénominateur. On peut alors écrire:
\begin{align*}
\dfrac{3x^2-5x+2}{x^2+8x-9} & = \dfrac{(x-1)(3x-2)}{(x-1)(x+9)}\\
& = \dfrac{3x-2}{x+9}.
\end{align*}
Ainsi,
\[
\boxed{ \limite[x>1]{x}{1}{\dfrac{3x^2-5x+2}{x^2+8x-9}} = \limite[x>1]{x}{1}{\dfrac{3x-2}{x-9}}=\dfrac{3\times1-2}{1-9}=-\dfrac{1}{8} }
\]

\item $\limite[x>2]{x}{2}{\dfrac{3x-5}{x^2+2x-8}}$.
\begin{itemize}
\item $\limite[x>2]{x}{2}{(3x-5)}=3\times2-5=1>0$;
\item Remarquons que $x^2+2-8$ admet pour racines $-4$ et 2, donc $\limite[x>2]{x}{2}{(x^2+2x-8)}=0^+$ (en prenant $x=3$, donc entre les racines, on trouve $7>0$).
\end{itemize}
Ainsi,
\[
\boxed{ \limite[x>2]{x}{2}{\dfrac{3x-5}{x^2+2x-8}} = +\infty }
\]

\item $\limite[x<-1]{x}{-1}{\dfrac{2x^2+3x+1}{-5x^2-x+4}}$
\begin{itemize}
\item $\limite[x<-1]{x}{-1}{(2x^2+3x+1)}=0$
\item $\limite[x<-1]{x}{-1}{(-5x^2-x+4)}=0$
\end{itemize}
Cela signifie que l'on peut factoriser par $x-(-1)=x+1$ au numérateur et au dénominateur:
\[
\dfrac{2x^2+3x+1}{-5x^2-x+4} = \dfrac{(x+1)(2x+1)}{(x+1)(4-5x)} = \dfrac{2x+1}{4-5x}\text{ pour }x\neq-1.
\]
Ainsi,
\[
\boxed{ \limite[x<-1]{x}{-1}{\dfrac{2x^2+3x+1}{-5x^2-x+4}} = \limite[x<-1]{x}{-1}{\dfrac{2x+1}{4-5x}} = \dfrac{-1}{9} }
\]
\end{enumerate}
