
\begin{enumerate}
\item On sait que $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \ln x = -\infty$ donc $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow 0} (\e\ln x - x)=-\infty}$.

\item On peut écrire :
\[ f(x)=x\left(\e\frac{\ln x}{x}-1 \right).\]

On sait que (croissance comparée) : $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left(\e\dfrac{\ln x}{x}-1 \right)=-1$.

Ainsi, par produit, $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=-\infty}$.

\item $f'(x)=\dfrac{\e}{x}-1=\dfrac{\e-x}{x}$. Ainsi, sur $\intervOO{0}{\e}$, $f'(x)>0$ et sur $\intervOO{\e}{+\infty}$, $f'(x)<0$ d'où le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}[yscale=0.7]
\tkzTab[lgt=3,color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]
{
	$x$ / 1 ,
	$f^{\prime}(x)$ / 1,
	$f$ / 2
}
{ $0$ , $\e$ , $+\infty$ }
{ d , + , z , -  , }
{ D-/$-\infty$ , +/$0$ , -/$-\infty$ }
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On remarque sur le tableau de variations que pour tout réel $x$ strictement positif et différent de \e, $f(x)<0$. Ainsi :
\[ f(\pi)<0,\]
c'est-à-dire :
\[\e\ln \pi < \pi\]
soit :
\[\ln \pi^\e < \pi.\]
En composant par la fonction exponentielle, qui est strictement croissante, on a alors :
\[ \e^{\ln\pi^\e}<\e^\pi, \]
Soit :
\[ \boxed{\pi^\e<\e^\pi}\]
\end{enumerate}
