
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $u_1 = u_0 + v_0 = 1+1=2$.

$v_1=2u_0+v_0 = 2\times1 + 1 = 3$.

\item Pour tout entier naturel$n$,
\begin{align*}
v_{n+1} - v_n & = 2u_n+v_n-v_n\\
& = u_n\\
& > 0\text{ par hypothèses de départ.}
\end{align*}
\uline{Ainsi, $v_{n+1}>v_n$ pour tout entier $n$; la suite \suite{v}{n}{} est donc strictement croissante.}

\medskip

Or, $v_0=1$ donc pour tout entier naturel $n$, $v_n\geqslant1$.


\item
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation.}

$u_0=1 \geqslant 0+1$. L'inégalité est donc vraie pour $n=0$.

\item \textit{Hérédité.}

Supposons que pour un entier $k$ fixé, $u_k \geqslant k+1$ (HR).
\begin{align*}
u_{k+1} & = u_k + v_k\\
& \geqslant (k+1) + 1\text{ par (HR) et car }v_n\geqslant1.
\end{align*}
L'hérédité est alors démontrée.
\end{itemize}

\uline{Ainsi, quel que soit l'entier naturel $n$, $u_n \geqslant n+1$.}

\item $u_n \geqslant n+1$ et $\limite{n}{+\infty}{n+1}=+\infty$ donc, par comparaison, \underline{$\limite{n}{+\infty}{u_n}=+\infty$}.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On sait que pour tout entier naturel $n$,
\[
-1 \leqslant (-1)^{n+1} \leqslant 1
\]
donc, en divisant par $u_n^2>0$:
\[
\boxed{-\dfrac{1}{u_n^2} \leqslant \dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2} \leqslant \dfrac{1}{u_n^2}}
\]

\item $\limite{n}{+\infty}u_n=+\infty$ donc $\limite{n}{+\infty}u_n^2=+\infty$. Ainsi,
\[
\limite{n}{+\infty}\dfrac{1}{u_n^2}=\limite{n}{+\infty}\left(-\dfrac{1}{u_n^2}\right)=0.
\]
D'après le théorème des gendarmes (théorème d'encadrement), on en déduit:
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}=0}
\]

\item D'après la question précédente, par somme,
\[
\limite{n}{+\infty}r_n^2 = 2 + 0
\]
donc:
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}r_n=\sqrt2}
\]

\item Pour tout entier naturel $n$, on a d'une part:
\[
r_{n+1}=\dfrac{v_{n+1}}{u_{n+1}}=\dfrac{2u_n+v_n}{u_n+v_n}
\]
et d'autre part,
\begin{align*}
\dfrac{2+r_n}{1+r_n} & = \dfrac{2+\frac{v_n}{u_n}}{1+\frac{v_n}{u_n}}\\
& = \dfrac{\frac{2u_n+v_n}{u_n}}{\frac{u_n+v_n}{u_n}}\\
& = \dfrac{2u_n+v_n}{u_n+v_n}.
\end{align*}

Donc:
\[
\boxed{r_{n+1}=\dfrac{2+r_n}{1+r_n}}
\]

\item La valeur de $n$ renvoyée par le programme correspond à la première valeur de $n$ pour laquelle $|r-\sqrt2|\leqslant10^{-4}$.

\uline{Cela signifie que $r_5$ est une valeur approchée de $\sqrt2$ à $10^{-4}$ près.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
