
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Pour calculer $u_2$, on prend en compte que l'allongement est homogène ; ainsi, quand Léo est à 1 mètre du point de départ, quand on tire l'élastique pour faire passer sa longueur de 100 mètres à 200 mètres, on la multiplie par 2 donc on doit faire de même pour la longueur qui sépare Léo du point de départ.

Par conséquent, après l'allongement, Léo se trouve à $1\times2=2$ mètres du point de départ. Il suffit ensuite d'ajouter 1 mètre et on obtient $\uline{u_2=3}$.

\item Sur ce même principe, on calcule $u_3$ : quand on allonge l'élastique de sorte à ce que sa longueur passe de 200 mètres à 300 mètres, on la multiplie par $\dfrac{300}{200}=1,5$. Pour obtenir la valeur de $u_3$, on multiplie donc $u_2$ par 1,5 puis on ajoute 1 :
\[
\uline{u_3=}1,5u_2+1=1,5\times3+1=\uline{5,5}.
\]
\end{enumerate}

\newpage

\item Selon le même principe que précédemment, pour calculer $u_{n+1}$ connaissant $u_n$, il faut trouver le \og coefficient d'allongement \fg. Notons $\ell_n$ la longueur de l'élastique, en mètre, à l'étape $n$ (avant l'allongement).

Ainsi, $\ell_1=100$, $\ell_2=200$ et par extension, $\ell_n=100n$.

\medskip

Le \og coefficient d'allongement \fg{} est donc $k_n=\dfrac{100(n+1)}{100n}=1+\dfrac{1}{n}$.

Ainsi,
\[ u_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)u_n+1.\]

\item $u_3=5,5$ et $\ell_3=300$ donc $p_3=\dfrac{u_3}{\ell_3}\times100=\dfrac{11}{6}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}$.

\item Montrons par récurrence la formule proposée.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation}.

Nous l'avons montré pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$.

\medskip

\item \textit{Hérédité}.

Supposons que pour un entier $n>0$, $p_n=1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}$.

Quand on allonge l'élastique de 100 mètres, le pourcentage ne change pas car l'allongement est homogène (conserve les proportions). En ajoutant 1 mètre, proportionnellement à la longueur $\ell_{n+1}$, on a ajouté $\dfrac{1}{n+1}$\;\%.

Ainsi, $p_{n+1}=p_n+\dfrac{1}{n+1}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}$.

L'hérédité est alors vérifiée. La formule est donc vraie pour tout entier naturel $n$ non nul.
\end{itemize}

\item Faisons un raisonnement par récurrence encore une fois.
\begin{itemize}
\item \textit{Initialisation.}

Pour mieux comprendre, nous n'allons pas vérifier uniquement pour le premier rang, mais pour plusieurs.
\begin{itemize}
\item $p_{2^0}=p_1=1\geqslant1+\dfrac{0}{2}$ ;
\item $p_{2^1}=p_2=1+\dfrac{1}{2}\geqslant1+\dfrac{1}{2}$ ;
\item $p_{2^2}=p_4=1+\dfrac{1}{2}+\underbrace{\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}}_{\geqslant\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}}\geqslant1+2\times\dfrac{1}{2}$ ;
\item $p_{2^3}=p_8=p_4+\underbrace{\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}}_{\geqslant4\times\frac{1}{8}=\frac{1}{2}}\geqslant1+2\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1+3\times\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
L'inégalité est alors vraie pour $n=0$, jusqu'à $n=3$.

\newpage

\item \textit{Hérédité}.

On suppose que $p_{2^{n-1}}\geqslant1+(n-1)\times\dfrac{1}{2}$.

\[
p_{2^n}=p_{2^{n-1}}+\dfrac{1}{2^{n-1}+1}+\underbrace{\dfrac{1}{2^{n-1}+2}+\cdots+\dfrac{1}{2^n}}_{=s_n}.
\]

Or, $\dfrac{1}{2^k+p}\geqslant\dfrac{1}{2^{k+1}}$ pour tout entier $k$ et pour tout entier $p$ tel que $1\leqslant p\leqslant k+1$.

Ainsi, dans la mesure où il y a $2^{(n-1)}$ termes dans $s_n$, \[
s_n\geqslant 2^{(n-1)}\times\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{1}{2}.
\]

Par conséquent,
\[
p_{2^n}\geqslant1+(n-1)\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2},
\] soit \[ p_{2^n}\geqslant1+n\times\dfrac{1}{2}. \]

L'hérédité est vérifiée donc la formule est vraie pour tout entier naturel $n$.
\end{itemize}

\item $\limite{n}{+\infty}{\left(1+\dfrac{1}{2}n\right)}=+\infty$ donc d'après le théorème de comparaison des suites,\linebreak $\limite{n}{+\infty}{p_{2^n}}=+\infty$.

En posant $N=2^n$, comme $\limite{n}{+\infty}{N}=+\infty$, on peut écrire $\limite{N}{+\infty}{p_N}=+\infty$.

Cela sous-entend donc que le pourcentage de chemin fait par Léo sur l'élastique dépassera 100, ce qui signifie qu'il arrivera au bout de l'élastique.

Cela peut alors surprendre car le procédé ne permet a priori pas de l'envisager. C'est ce que l'on appelle un paradoxe qui peut s'expliquer de la façon suivante : pour $n$ assez grand, on démontre (pas nous ! mais les grands mathématiciens...) que $p_n\approx\ln n$ (à une constante près, que l'on appelle la constante d'Euler, et que l'on note $\gamma$) donc si on cherche $n$ tel que $p_n\geqslant100$, on cherche $n$ pour que $\ln n\geqslant100$, soit $n\geqslant\e^{100}$. Or, $\e^{100}\approx2,7\times10^{43}$. Alors, même si Léo faisait 1 mètre par seconde, il faudra à peu près $2,7\times10^{43}$ secondes pour qu'il atteigne le bout de l'élastique, ce qui correspond à $8,56\times10^{35}$ années... Autant dire jamais !
\end{enumerate}
