
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
f(x) & = \dfrac{\sqrt{x^2+x+2}-2}{x-1}\times\dfrac{\sqrt{x^2+x+2}+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}\\
& = \dfrac{x^2+x-2}{(x-1)\left(\sqrt{x^2+x+2}+2\right)}\\
& = \dfrac{(x-1)(x+2)}{(x-1)\left(\sqrt{x^2+x+2}+2\right)}\\
&= \dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2} \quad\text{si }x\neq1
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, $\limite{x}{1}{f(x)}=\dfrac{3}{4}=f(1)$. Donc, \underline{$f$ est continue en 1}.

\item Le taux d'accroissement de $f$ en 1 est :
\begin{align*}
\tau(x) & = \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \dfrac{\frac{\sqrt{x^2+x+2}-2}{x-1}-\dfrac{3}{4}}{x-1}\\
& = \dfrac{4\sqrt{x^2+x+2}-(3x+5)}{4(x-1)^2}\times\dfrac{4\sqrt{x^2+x+2}+(3x+5)}{4\sqrt{x^2+x+2}+(3x+5)}\\
 & = \dfrac{16x^2+16x+32-9x^2-30x-25}{4(x-1)^2\left(4\sqrt{x^2+x+2}+(3x+5)\right)}\\
& =\dfrac{7x^2-14x+7}{4(x-1)^2\left(4\sqrt{x^2+x+2}+(3x+5)\right)}\\
& = \dfrac{7(x-1)^2}{4(x-1)^2\left(4\sqrt{x^2+x+2}+(3x+5)\right)}\\
& = \dfrac{7}{4\left(4\sqrt{x^2+x+2}+(3x+5)\right)}
\end{align*}
Ainsi, $\limite{x}{1}{\tau(x)}=\dfrac{7}{16}$.

La limite du taux d'accroissement de $f$ en 1 étant une valeur finie, \underline{$f$ est dérivable en 1}.

Je n'ai pas pris l'expression $\tau(h)=\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$ car les modifications d'écriture étaient plus longues que celles faites ci-dessus. Vous pouvez toujours essayer...

\item La fonction $x\mapsto\sqrt{x^2+x+2}$ est dérivable pour tout $x$ où le radicant est strictement positif, ce qui est toujours le cas car le discriminant de $x^2+x+2$ est strictement négatif. Ainsi, la fonction $x\mapsto\sqrt{x^2+x+2}-2$ est dérivable sur \R.

La fonction $X\mapsto\dfrac{1}{X}$ est dérivable sur \intervOO{-\infty}{0} et sur \intervOO{0}{+\infty} donc la fonction $x\mapsto\dfrac{1}{x-1}$ est dérivable pour $x\neq1$.

Par conséquent, la fonction $f$ est dérivable pour $x\neq1$ comme produit de deux fonctions dérivables pour $x\neq1$.
\end{enumerate}
