
\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $u \times v$ avec:

$u(t) = 1-0,02t$, $u'(t)=-0,02$, $v(t)=\e^{-0,2t}$, $v'(t)=-0,2\e^{-0,2t}$.
\begin{align*}
f'(t) & = (u'v+v'u)(t)\\
& = -0,02\e^{-0,2t} -0,2(1-0,02t)\e^{-0,2t}\\
& = \big[-0,02 - 0,2(1-0,02)t\big]\e^{-0,2t}\\
& = (0,004t-0,22)\e^{-0,2t}.
\end{align*}
$\e^{-0,2t}>0$ pour tout réel $t$ donc $f'(t)$ est du signe de $0,004t-0,22$.
\[
0,004t-0,22 > 0 \iff t > \dfrac{0,22}{0,004} \iff t > 55.
\]
Ainsi, $f'(t) < 0$ sur \intervFF{0}{50}. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur cet intervalle.

\item Sur \intervFF{0}{50},
\begin{itemize}
\item $f$ est continue et strictement décroissante;
\item $f(0)=0$ et $f(50)=0$ donc $0,5$ est une valeur intermédiaire entre $f(0)$ et $f(50)$.
\end{itemize}
Par conséquent, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur $\alpha\in\intervFF{0}{50}$ telle que $f(\alpha)=0,5$.

À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx 3,1$.

Cela signifie qu'au bout de 3,1 h, soit 3 heures 06 min, le taux du médicament dans le sang sera de 0,5.
\end{enumerate}
