
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie pour $u(x)\geqslant0$.

$u'(x)=x^2+4x=x(x+4)$ d'où le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10,colorV=numpagecorrige!10]{$x$/0.5,$u'(x)$/0.5,$u(x)$/2}{$-\infty$,$-4$,$0$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}
\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$\frac{163}{3}$,-/1,+/$+\infty$}
\tkzTabVal[draw]{1}{2}{0.5}{$\alpha$}{0}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

La fonction $u$ est continue et strictement croissante sur \intervOO{-\infty}{-4}. De plus, $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=-\infty<0$ et $f(-4)>0$ donc $0$ est dans $f\intervOO{-\infty}{-4}$.

Ainsi, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur $\alpha$ sur \intervOO{-\infty}{-4} telle que $u(x)=0$.

De plus, d'après les variations de $u$, $\forall x\geqslant\alpha,\ u(x)\geqslant0$.

\medskip

\uline{Par conséquent, $f$ est définie sur $\intervFO{\alpha}{+\infty}$.}

\item $f$ est de la forme $\sqrt{u}$ donc $f'=\dfrac{u'}{2\sqrt u}$ soit :
\[
f'(x)=\dfrac{x^2+4x}{2\sqrt{\dfrac{1}{3}x^3+2x^2+1}}.
\]
$\alpha\approx-6,08$ (il ne faut pas hésiter à prendre des initiatives !) donc le numérateur de $f'(\alpha)$ est à peu près égal à $12,66 > 0$. De plus, $u(\alpha)=0$ donc $\limite{x}{\alpha}{f'(x)}=+\infty$, ce qui signifie que la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $\alpha$ a un coefficient directeur infini, donc qu'elle est verticale.

\medskip

Ce la se traduit graphiquement par un \og début \fg{} de courbe abrupt vers le haut (la croissante initiale est extrêmement grande), voir schéma page suivante.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=0.85, every node/.style={outer sep = 2mm}]
\clip (-7,-1.3) rectangle (10,20);
\draw[->,>=latex,thick] (-7,0) -- (10,0);
\draw[->,>=latex,thick] (0,-0.5) -- (0,20);
\draw[purple,very thick] plot[domain=-6.081:10,samples=1000] (\x,{sqrt(\x*\x*\x/3+2*\x*\x+1)});
\draw[very thick,violet,->,>=latex] (-6.081,0) -- (-6.081,2);
\fill (-4,{sqrt((-4)*(-4)*(-4)/3+2*(-4)*(-4)+1)}) circle[x radius=2pt,y radius=4pt];
\draw[very thick,<->,>=latex,violet] ($(-4,{sqrt((-4)*(-4)*(-4)/3+2*(-4)*(-4)+1)})+(1,0)$) -- ($(-4,{sqrt((-4)*(-4)*(-4)/3+2*(-4)*(-4)+1)})+(-1,0)$);
\draw[dashed,thick,violet] (-4,{sqrt((-4)*(-4)*(-4)/3+2*(-4)*(-4)+1)}) -- (-4,0) node[below] {$-4$};
\fill (0,1) circle[x radius=2pt,y radius=4pt];
\draw[very thick,<->,>=latex,violet] (-1,1) -- (1,1);
\node[below] at (-6.081,0) {$\alpha$};
\draw (1,0.2) -- (1,-0.2) node[below] {1};
\node[above left] at (0,1) {1};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
