
\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $f=\dfrac{1}{g}$, avec $g(x)=x\ln x$. Donc $f'$ est de la forme $-\dfrac{g'}{g^2}$.

$g$ est de la forme $uv$ avec :
\[
\begin{array}{l@{\qquad\qquad}l}
u(x)=x & u'(x)=1\\
v(x)=\ln x & v'(x)=\dfrac{1}{x}
\end{array}
\]
Donc $g'$ est de la forme $u'v+uv'$

Ainsi,
\begin{align*}
g'(x) & = (u'v+uv')(x)\\
& = \ln x + x\times\dfrac{1}{x}\\
& =\ln x+1.
\end{align*}
Par conséquent,
\[
\boxed{f'(x)=-\dfrac{\ln x+1}{(x\ln x)^2}}
\]

\item $x>1$ donc $\ln x > \ln 1$, soit $\ln x > 0$.

De plus, $(x\ln x)^2>0$ donc $f'(x)>0$ sur \intervOO{1}{+\infty}.

On a alors le tableau suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorV=numpagecorrige!10,colorL=numpagecorrige!10,colorC=numpagecorrige!10]{$x$/0.8,$f'$/0.8,$f$/1}{1,$+\infty$}
\tkzTabLine{d,-}
\tkzTabVar{D+/ /,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\dfrac{\frac1 x}{\ln x}=\dfrac{1}{x}\times\dfrac{1}{\ln x}=\dfrac{1}{x\ln x}=f(x)$ donc $f$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=\ln x$.

Par conséquent, une primitive de $f(x)$ est $F(x)=\ln\big[u(x)\big]$, soit :
\[
F(x)=\ln\big[\ln(x)\big].
\]
Ainsi, la valeur moyenne de $f(x)$ sur \intervFF{\e}{10} est :
\begin{align*}
\mu & = \dfrac{1}{10-\e}\dint_{\e}^{10}f(x)\dx\\
& = \dfrac{1}{10-\e}\big[F(10)-F(\e)\big]\\
& = \dfrac{1}{10-\e}\big[\ln(\ln10)-\underbrace{\ln(\underbrace{\ln\e}_{=1})}_{=0}\big]\\
\Aboxed{\mu & = \dfrac{\ln(\ln10)}{10-\e}}
\end{align*}

\item La valeur moyenne correspond à la hauteur du rectangle dont l'aire est égale à celle du domaine entre l'axe des abscisses et la courbe représentative de $f$ sur \intervFF{\e}{10}.

Ici, $\mu\approx0,11$, d'où le rectangle suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill = white, outer sep = 0pt] (img) {
\begin{tikzpicture}[>=latex,yscale=10,xscale=1]
\fill[numpagecorrige!20] (2.718,0) -- plot[domain=2.718:10] (\x,{1/(\x*ln(\x))}) -- (10,0) -- cycle;
\draw[dotted] (0,0) grid[xstep=0.5,ystep=0.1] (11,0.5);
\draw[very thick,->] (0,0) -- (11,0);
\draw[very thick,->] (0,0) -- (0,0.5);
\foreach\x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
{
\draw[very thick] (\x,0.01) -- (\x,-0.01) node[below] {\bfseries\x};
}
\foreach \y in {1,2,3,4}
{
\node[scale=0.75,below left] at (0,{\y/10}) {0,\y};
}
\draw[very thick] (0.1,0.11) -- (-0.1,0.11) node[left] {\bfseries0,11};
\draw[very thick] (2.718,0.03) -- (2.718,-0.03) node[below] {$\e$};
\clip (0,0) rectangle (10,0.5);
\draw[thick,numpagecorrige] plot[domain=1.1:10,samples=100] (\x,{1/(\x*ln(\x))}) node[below right,fill=white] {$y=\frac{1}{x\ln x}$};
\draw[line width=2pt,red] (2.718,0) rectangle (10,0.114);
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
