
\begin{enumerate}
\item D'après le cours, $(E_0)$ a pour solutions les fonctions:
\[
y_0(x) = C\e^{2x}\quad,\quad C\in\R.
\]

\item
\begin{enumerate}
\item $u'(x)=a\e^x + (ax+b)\e^x = (ax + a+b)\e^x$.
\begin{align*}
u\text{ solution de (E)} & \iff \forall x\in\R,\ u' - 2u = x\e^x\\[8pt]
& \iff \forall x \in\R,\ (ax+a+b)\e^x - 2(ax+b)\e^x = x\e^x\\[8pt]
& \iff \forall x \in\R,\ (ax-2ax+a+b-2b)\e^x = x\e^x\\[8pt]
& \iff \forall x\in\R,\ (-ax + a-b)\e^x = x\e^x\\[8pt]
& \iff \begin{cases}
-a=1\\
a-b=0
\end{cases}\\[8pt]
& \iff a=-1\text{ et }b=a=-1.
\end{align*}
Finalement, on obtient:
\[
u(x)=(-x-1)\e^x.
\]

\item $\begin{aligned}[t]
(u+v) \text{ solution de }(E) & \iff (u+v)' - 2(u+v) = x\e^x\\[8pt]
& \iff \underbrace{(u'-2u)}_{=x\e^x} + (v'-2v) = x\e^x\\[8pt]
& \iff v'-2v=0\\[8pt]
& \iff v\text{ solution de }(E_0).
\end{aligned}$

\item D'après la question précédente, $y$ est solution de $(E)$ si et seulement si:
\begin{align*}
y(x) & = u(x) + v(x)\\[8pt]
     & = (-x-1)\e^x  + C\e^{2x}.
\end{align*}
\end{enumerate}

\item On souhaite que $\begin{aligned}[t]
y(0) = 0 & \iff (-0-1)\e^0  + C\e^{2\times0} = 0\\
& \iff -1+C=0\\
& \iff C=1
\end{aligned}$

Ainsi, la solution de (E)qui s'annule en 0 est la fonction $f(x)=(-x-1)\e^x+\e^{2x}$.
\end{enumerate}
