
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\vv{AI} & = \vv{AD} + \vv{DC} + \vv{CI}\text{ (relation de Chasles)}\\
& = \vv{AD} + \vv{DC} + \dfrac{1}{2}\vv{CG}\\
\Aboxed{\vv{AI} & = \vv{AD} + \vv{AB} + \dfrac{1}{2}\vv{AE}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\vv{CJ} & = \vv{CD} + \vv{DA} + \vv{AJ}\text{ (relation de Chasles)}\\
& = -\vv{AB} - \vv{AD} + x\vv{AI}\\
& = -\vv{AB} - \vv{AD} + x\left( \vv{AD} + \vv{AB} + \dfrac{1}{2}\vv{AE} \right)\\
\Aboxed{\vv{CJ} & = (x-1)\vv{AB} + (x-1)\vv{AD} + \dfrac{x}{2}\vv{AE}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\vv{KJ} & = \vv{KE} + \vv{EA} + \vv{AJ}\text{ (relation de Chasles)}\\
& = -\dfrac{2}{3}\vv{AD} - \vv{AE} + x\vv{AI}\\
& = -\dfrac{2}{3}\vv{AD} - \vv{AE} + x\left( \vv{AD} + \vv{AB} + \dfrac{1}{2}\vv{AE} \right)\\
\Aboxed{\vv{KJ} & = \left(x-\dfrac{2}{3}\right)\vv{AD} + x\vv{AB} + \left(\dfrac{x}{2}-1\right)\vv{AE}}
\end{aligned}$

\item $\begin{aligned}[t]
\vv{IK} & = \vv{IG} + \vv{GH} + \vv{HK}\\
\Aboxed{\vv{IK} & = \dfrac{1}{2}\vv{AE} - \vv{AB} -\dfrac{1}{3}\vv{AD}}
\end{aligned}$
\end{enumerate}

\begin{rem}
il n'y a pas qu'une seule façon d'utiliser la relation de Chasles pour décomposer un vecteur. Selon le \og chemin \fg{}  que l'on emprunte, le raisonnement peut être plus ou moins long.
\end{rem}
