
\begin{enumerate}
\item Avant de traiter l'exercice, on peut pendre l'exemple d'un groupe de 4 personnes, notées $a$, $b$, $c$ et $d$. Si on veut constituer deux groupes de deux personnes, on a les possibilités suivantes:

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\rowcolor{numpagecorrige}\hline
\color{pagecorrige}Groupe 1 &\color{pagecorrige} Groupe 2\\
\hline
$a$ avec $b$ & $c$ avec $d$\\
\hline
$a$ avec $c$ & $b$ avec $d$\\
\hline
$a$ avec $d$ & $b$ avec $c$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Il y a seulement 3 possibilités alors que nos calculs nous pousseraient peut-être à dire qu'il y en a $\binom{4}{2}\times\binom{2}{2}=6$ (on choisit 2 personnes parmi les 4 pour constituer le premier groupe et pour le second, on en choisit 2 parmi les deux restantes). Avec cette dernière méthode, il faut comprendre que l'on considère que les cas  \og Groupe 1 : $a$ avec $b$, Groupe 2 : $c$ avec $d$ \fg{} et \og Groupe 1 : $c$ avec $d$, Groupe 2 : $a$ avec $b$ \fg{}  sont distincts alors que non. Il faut donc diviser par deux le nombre de possibilités trouvés par cette méthode.

\medskip


Revenons maintenant à notre exercice : il y a $\binom{12}{2}$ façons de constituer un groupe de 2 personnes prises parmi les 12, puis $\binom{10}{5}$ façons de constituer un autre groupe de 5 personnes prises parmi les 10 restantes, et enfin une seule façon de constituer le dernier groupe de 5 personnes.

Le nombre total de groupes possibles est donc :
$\dfrac{\dbinom{12}{2}\times\dbinom{10}{5}}{2}=\numprint{8316}$.

\item Pour cette question encore, prenons un cas simple. Considérons un groupe de 6 personnes, notées $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$, que l'on souhaite partager en groupes de 2. Les différents groupes possibles sont donnés dans le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|Sc|}
\rowcolor{numpagecorrige}\hline
\color{pagecorrige}Groupe 1 & \color{pagecorrige}Groupe 2 &\color{pagecorrige} Groupe 3\\
\hline
\multirow{3}{*}{\color{red}$a$ avec $b$} & \color{red}$c$ avec $d$ & \color{red}$e$ avec $f$\\\cline{2-3}
& \color{red}$c$ avec $e$ & \color{red}$d$ avec $f$\\\cline{2-3}
& \color{red}$c$ avec $f$ & \color{red}$d$ avec $e$\\
\hline
\multirow{3}{*}{\color{red}$a$ avec $c$} & \color{red}$b$ avec $d$ & $e$ avec $f$\\\cline{2-3}
& \color{red}$b$ avec $e$ & $d$ avec $f$\\\cline{2-3}
& \color{red}$b$ avec $f$ & $d$ avec $e$\\
\hline
\end{tabular}\\
$\vdots$\\
$\downarrow$

\begin{tabular}{|Sc|Sc|Sc|}
\rowcolor{numpagecorrige}\hline
\color{pagecorrige}Groupe 1 & \color{pagecorrige}Groupe 2 &\color{pagecorrige} Groupe 3\\
\hline
\multirow{3}{*}{\color{red}$a$ avec $d$} & \color{red}$b$ avec $c$ & $e$ avec $f$\\\cline{2-3}
& $b$ avec $e$ & $c$ avec $f$\\\cline{2-3}
& $b$ avec $f$ & $c$ avec $e$\\
\hline
\multirow{3}{*}{\color{red}$a$ avec $e$} & $b$ avec $c$ & $d$ avec $f$\\\cline{2-3}
& $b$ avec $d$ & $c$ avec $f$\\\cline{2-3}
& $b$ avec $f$ & $c$ avec $d$\\
\hline
\multirow{3}{*}{\color{red}$a$ avec $f$} & $b$ avec $c$ & $d$ avec $e$\\\cline{2-3}
& $b$ avec $d$ & $c$ avec $e$\\\cline{2-3}
& $b$ avec $e$ & $c$ avec $d$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Nous avons mis en rouge les groupes distincts : il y en a 15. Or, avec une méthode de dénombrement \og classique \fg, on obtiendrait :
\[
\dbinom{6}{2}\times\dbinom{4}{2}\times\dbinom{2}{2}=90\text{ groupes possibles.}
\]
Le nombre de groupes possibles est donc égal à :
\[
\dfrac{\dbinom{6}{2}\times\dbinom{4}{2}\times\dbinom{2}{2}}{6}=\dfrac{\dbinom{6}{2}\times\dbinom{4}{2}\times\dbinom{2}{2}}{3!}.
\]
Revenons maintenant à notre exercice : nous voulons constituer 3 groupes de 4 personnes, ce qui nous amène au calcul suivant:
\[
\dfrac{\dbinom{12}{4}\times\dbinom{8}{4}\times\dbinom{4}{4}}{3!}=\numprint{5775}.
\]
Il y a donc \numprint{5775} groupes possibles.
\end{enumerate}
