
\begin{itemize}
\item \textit{Les droites sont-elles parallèles ?}

Pour le savoir, il faut regarder si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Le vecteur directeur de $(\mathcal{D}_1)$ est $\vv{u}\begin{pmatrix}
-5\\1\\-3\end{pmatrix}$ et celui de $(\mathcal{D}_2)$ est $\vv{v}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$.
\[
\dfrac{-5}{1} \neq \dfrac{1}{-2}
\]
donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. Les droites ne sont donc pas parallèles.

\medskip

\item \textit{Les droites sont-elles sécantes ?}

Pour le savoir, nous devons résoudre le système:
\[
\left\lbrace\begin{array}{l}
2-5t=5+t' \\
-1+t=-4-2t'\\
4-3t=1+t'
\end{array} \right.
\]
Si on ne considère que les deux premières équations, on a:
\begin{align*}
\left\lbrace\begin{array}{l}
2-5t=5+t' \\
-1+t=-4-2t'
\end{array} \right. & \iff
\left\lbrace\begin{array}{l}
5t + t' = -3 \\
t + 2t' = -3
\end{array} \right.\\
& \iff t = -\frac{1}{3}, \quad t' = -\frac{4}{3}.
\end{align*}

La troisième équation donne alors:
\[
4-3t=1+t' \iff 4+1=1-\frac{4}{3} \iff 5=-\frac{1}{3}.
\]
Cette dernière égalité étant fausse, le système n'admet aucune solution et donc les droites ne sont pas sécantes.
\end{itemize}
