
\begin{enumerate}
\item Notons $(\mathcal{Q})$ le plan passant par le point $A(1;-2;3)$ et parallèle au plan $(\mathcal{P})$ d'équation : $2x + 5y - 3z = 7$.

Son équation cartésienne vérifie :
\[
ax_A + by_B + cz_B + d = 0
\]
soit:
\[
a - 2b + 3c + d = 0.\tag{1}
\]
On sait de plus que $(\mathcal{Q})$ est parallèle à $(\mathcal{P})$ donc leurs vecteurs normaux sont colinéaires:
\[
\exists k\in\R*,\
\begin{pmatrix}
a\\b\\c
\end{pmatrix} =
k
\begin{pmatrix}
2\\5\\-3
\end{pmatrix} \iff
\begin{cases}
a = 2k\\
b = 5k\\
c = -3k
\end{cases}.
\]
En remplaçant $a$, $b$ et $c$ dans l'équation (1), on a:
\[
2k-2(5k)+3(-3k)+d=0
\]
soit $d = 17k$.

En prenant par exemple $k=1$, on a alors:
\[
\boxed{(\mathcal{Q})\;:\; 2x+5y-3z+17=0.}
\]

\item Notons $(\mathcal{Q})$ le plan passant par le point $A(-1;-1;1)$ et orthogonal au plan $(\mathcal{P})$ d'équation : $x + y - z = 1$.

Son équation cartésienne vérifie :
\[
ax_A + by_B + cz_B + d = 0
\]
soit:
\[
-a - b + c + d = 0.\tag{1}
\]
Les deux plans sont orthogonaux donc leurs vecteurs normaux le sont aussi:
\[
\begin{pmatrix}
1\\1\\-1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
a\\b\\c
\end{pmatrix}=0 \iff a+b-c=0 \iff c = a+b.
\]
L'équation (1) devient alors $d= 0$.

Une équation cartésienne de $(\mathcal{Q})$ est donc, par exemple en prenant $a=b=1$ et \mbox{$c=a+b=2$:}

\[
\boxed{(\mathcal{Q})\;:\;x+y+2z=0}
\]
\vspace*{1cm}
\end{enumerate}
