
\begin{enumerate}
\item On choisit 5 cartes parmi 52 et l'ordre ne compte pas. Il s'agit donc ici d'une combinaison.

Il y a donc $\dbinom{52}{5}=\dfrac{52!}{5!(52-5)!}=\numprint{2598960}$ mains possibles.

\item On impose dans cette question le fait qu'il y ait un Roi. Comme l'ordre ne compte pas, on peut considérer que la première est un Roi (il y a 4 choix possibles car il y a 4 Rois dans un jeu de cartes). Nous voulons exactement un Roi; par conséquent, il ne faut pas qu'il y en ait parmi les autres cartes : on choisit donc 4 cartes parmi les $52-4=48$ cartes qui ne sont pas des Rois.

Ainsi, il y a $4 \times \dbinom{48}{4}=\numprint{778320}$ mains comportant exactement un Roi.

\item Nous souhaitons ici exactement deux Piques. Comme l'ordre ne compte pas, on peut considérer que ce sont les deux premières cartes. Il y a $52\div4=13$ Piques donc il y a $\dbinom{13}{2}$ possibilités pour ces deux cartes. Pour les 3 autres cartes, il faut les choisir parmi les $52-13=39$ cartes restantes qui ne sont pas des Piques.

Ainsi, il y a $\dbinom{13}{2}\times\dbinom{39}{3}=\numprint{712842}$ mains possibles contenant exactement 2 Piques.

\item Nous souhaitons ici 2 Piques et 1 C\oe ur. Selon le même principe que celui utilisé dans la question précédente, on peut dire que le nombre de mains comportant exactement 2 Piques et 1 C\oe ur est égal à :
\[
\underbrace{\dbinom{13}{2}}_{2\text{ Piques}}\times\underbrace{\dbinom{13}{1}}_{1\text{ C\oe ur}}\times\underbrace{\dbinom{26}{2}}_{2\text{ autres}}=\numprint{329550}.
\]
\end{enumerate}
