
Il y a deux façons de raisonner pour cet exercice.

\begin{itemize}
\item \textit{Raisonnement combinatoire.}

Le nombre de poignées de mains est égal au nombre de sous-ensembles à deux éléments que l'on peut former dans un ensemble à 50 d'éléments, à savoir $\dbinom{50}{2}=\numprint{1225}$.

Il y a donc \numprint{1225} poignées de mains.

\item \textit{Analyse numérique.}

Le premier participant peut serrer la main à 49 personnes. Ensuite, le deuxième peut serrer la main aux 48 personnes restantes. Le troisième peut serrer la main aux 47 autres, etc. jusqu'aux deux dernières personnes qui ne peuvent donner qu'une poignée de mains.

Il y a donc $49+48+47+\cdots+2+1$ poignées de mains possibles. Or,
\[
1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.
\]
Il y a donc $\dfrac{49\times50}{2}=\numprint{1225}$ poignées de mains.
\end{itemize}
