
\begin{enumerate}
\item Le mot \og ABYME \fg{} contient cinq lettres distinctes. Le nombre d'anagrammes est donc égal au nombre de permutations de ces cinq lettres.

Il y a donc $5!=120$ anagrammes au mot \og ABYME \fg.

\item Le mot \og NAPPE \fg{}  contient cinq lettres, mais elles ne sont pas toutes distinctes : il y a quatre lettres distinctes.

Ainsi, parmi les 120 permutations, il y en a qui sont identiques. Comme il y a deux lettres identiques, il y aura deux fois les mêmes permutations (par exemple \og P$_1$P$_2$NAE \fg{} et \og P$_2$P$_1$NAE \fg{} donnent l'anagramme \og PPNAE \fg). Il faut donc diviser par 2 le nombre de permutations.

Il y a donc $\dfrac{5!}{2}=60$ anagrammes différentes au mot \og NAPPE \fg.

\item Le mot \og KAYAK \fg{} comporte cinq lettres dont trois sont distinctes.\linebreak Selon le même principe expliqué à la question précédente, il faut diviser les 120 permutations par 2 (car il y a deux \og K \fg) et encore par 2 (car il y a deux \og A \fg).

Il y a donc $\dfrac{5!}{2\times2}=30$ anagrammes différentes au mot \og KAYAK \fg.

\item Le mot \og UBUESQUE \fg{} comporte huit lettres dont deux sont répétées : le \og U \fg{} est présent trois fois et le \og E \fg{} l'est deux fois. S'il faut diviser le nombre de permutations par 2 (car il y a deux \og E \fg), il ne suffit pas de diviser encore par 3 car il y a trois \og U \fg. En effet, il faut diviser par $3!=6$.

Pour mieux comprendre ceci, on peut prendre l'exemple du mot \og AAAB \fg{} qui admet théoriquement $4!=4\times3\times2$ permutations et qui admet pour anagrammes : \og AAAB \fg, \og AABA \fg, \og ABAA \fg{} et \og BAAA \fg. Il y en a donc $4=\dfrac{4\times3\times2}{3\times2}=\dfrac{4!}{3!}$.

\medskip

Ainsi, il y a $\dfrac{8!}{2 \times 3!}=\numprint{3360}$ anagrammes différentes au mot \og UBUESQUE \fg.
\end{enumerate}

\textbf{À retenir :} si un mot de $n$ lettres comporte $k$ lettres identiques, il y a $\dfrac{n!}{k!}$ anagrammes différentes de ce mot. S'il comporte $k$ lettres identiques et $p$ autres lettres identiques différentes des premières alors il y a $\dfrac{n!}{k! \times p!}$ anagrammes différentes.

\begin{rem}
On peut raisonner différemment en disant que trouver une anagramme du mot revient à :
\begin{itemize}
\item placer 3 lettres \og U \fg{} parmi les 8 positions possibles : il y a $\binom{8}{3}$ possibilités;
\item placer 2 lettres \og E \fg{} parmi les $8-3=5$ positions restantes : il y a $\binom{5}{2}$ possibilités;
\item trouver le nombre d'anagrammes sur les $5-2=3$ lettre restantes : il y a $3!$ possibilités.
\end{itemize}
On arrive alors à $\dbinom{8}{3}\times\dbinom{5}{2}\times3!=\numprint{3360}$ anagrammes différentes.
\end{rem}
