
\medskip

\partie{A}

\begin{enumerate}
\item On cherche à former un groupe de 5 personnes parmi 8, sans distinction de sexe. Le nombre de combinaisons possibles est donné par : $
\dbinom{8}{5} = 56$.

\underline{Il y a donc 56 façons de former ce groupe.}

\item Pour former un groupe de 5 personnes comprenant exactement 3 hommes et 2 femmes, on doit d'abord choisir 3 hommes parmi les 4, puis 2 femmes parmi les 4 :
\[
\binom{4}{3} \times \binom{4}{2} = 4 \times 6 = 24.
\]
\underline{Il y a donc 24 façons de former ce groupe.}
\end{enumerate}

\medskip

\partie{B}

\begin{enumerate}
\item Si l'on doit choisir et classer 3 personnes parmi les 8 invités, le nombre d'arrangements est donné par :
\[
8 \times 7 \times 6 = 336.
\]
\underline{Il y a donc 336 façons de choisir et de classer ces 3 personnes.}

\item Pour classer 2 femmes et 1 homme, on doit d'abord choisir 2 femmes parmi les 4, puis 1 homme parmi les 4, et enfin les classer. Le nombre total de possibilités est donc :
\[
\dbinom{4}{2} \times \dbinom{4}{1} \times \fact{3} = 6 \times 4\times 6 = 144.
\]
\underline{Il y a donc 144 façons de former et classer ce groupe.}
\end{enumerate}

\medskip

\partie{C}

\begin{enumerate}
\item Le nombre de listes ordonnées de 3 personnes parmi les 8 invités est donné par :
\[
8^3 = 512.
\]
\underline{Il y a donc 512 possibilités.}

\item Le nombre de 3-listes où les 3 personnes sont des femmes est donné par :
\[
4^3 = 64.
\]
La probabilité que les 3 personnes choisies soient des femmes est donc :
\[
\frac{64}{512}=\dfrac{1}{8}.
\]
\end{enumerate}

\partie{D}

On doit former une équipe de 4 personnes parmi les 8, avec au moins une femme. Le nombre total de combinaisons pour former une équipe de 4 personnes parmi 8 est :
\[
\dbinom{8}{4}=70.
\]
Le nombre de combinaisons ne contenant que des hommes (choisir 4 hommes parmi 4) est : 1.

Le nombre de façons de former une équipe avec au moins une femme est donc :
\[
70-1 = 69.
\]

