
\begin{enumerate}
\item On peut représenter la situation pour $n=2$ avec l'arbre suivant:
%\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill = white, very thick, draw = black , rounded corners] (img) {
\begin{tikzpicture}[scale=01, every node/.style={scale=1}]
\node (O) at (0,0) {$\Omega$};
\node (A) at (3,2) {$A_1$};
\node (Z) at (3,-2) {$\evcont{A_1}$};
%
\node (AB) at (7,3) {$A_2$};
\node (ABB) at (7,1) {$\evcont{A_2}$};
\node (ZB) at (7,-1) {$A_2$};
\node (ZBB) at (7,-3) {$\evcont{A_2}$};
%
\draw (O.east) -- (A.west) node[midway,fill=white] {$p_1=0,95$};
\draw (O.east) -- (Z.west) node[midway,fill=white] {$1-p_1=0,05$};
\draw (A.east) -- (AB.west) node[midway,fill=white] {$0,85$};
\draw (A.east) -- (ABB.west) node[midway,fill=white] {$0,15$};
%
\draw (Z.east) -- (ZB.west) node[midway,fill=white] {$0,75$};
\draw (Z.east) -- (ZBB.west) node[midway,fill=white] {$1-0,75=0,25$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
%\end{minipage}
%\begin{minipage}{0.49\linewidth}
Ainsi, $p_2 = 0,95\times0,85 + 0,05\times0,75 = 0,845.$
%\end{minipage}



\item Sur le même modèle, quel que soit l'entier naturel $n$ non nul,
\begin{align*}
p_{n+1} & = 0,85p_n + 0,75(1-p_n)\\
\Aboxed{p_{n+1} & = 0,1p_n+0,75}
\end{align*}

\item $\begin{aligned}[t]
u_{n+1} & = p_{n+1}-\dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{10}p_n + \dfrac{3}{4}-\dfrac{5}{6}\\
& = \dfrac{1}{10}p_n - \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{10}\left(p_n - \dfrac{1}{12}\times\dfrac{10}{1}\right)\\
& = \dfrac{1}{10}\underbrace{\left(p_n-\dfrac{5}{6}\right)}_{=u_n} = 0,1u_n.
\end{aligned}$

Ainsi, $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,1$ et de premier terme:
\[
u_1=p_1-\dfrac{5}{6}=\dfrac{95}{100}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{7}{60}.
\]
On en déduit alors que $u_n=u_1\times q^{n-1} = \dfrac{7}{60}\times0,1^{n-1}$ et donc:
\begin{align*}
u_n=p_n-\dfrac{5}{6} & \iff p_n = u_n+\dfrac{5}{6}\\
& \iff \boxed{p_n=\dfrac{7}{60}\times0,1^{n-1}+\dfrac{5}{6}}
\end{align*}

\item On déduit que $\limite{n}{+\infty}p_n=\dfrac{5}{6}$. Ainsi, à longs termes, le joueur réussira 5 tirs sur 6.
\end{enumerate}
