
\youtube{https://www.youtube.com/watch?v=sPpsXReZLzQ}
\begin{enumerate}
\item L'arbre représentant la situation est le suivant:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[fill = white, very thick, draw = black , rounded corners] (img) {
\begin{tikzpicture}[scale=1, every node/.style={scale=1}]
\node (O) at (0,0) {$\Omega$};
\node (A) at (3,2) {$S$};
\node (Z) at (3,-2) {$\evcont{S}$};
%
\node (AB) at (7,3) {$M$};
\node (ABB) at (7,1) {$\evcont{M}$};
\node (ZB) at (7,-1) {$M$};
\node (ZBB) at (7,-3) {$\evcont{M}$};
%
\draw (O.east) -- (A.west) node[midway,fill=white] {$0,63$};
\draw (O.east) -- (Z.west) node[midway,fill=white] {$0,37$};
\draw (A.east) -- (AB.west) node[midway,fill=white] {$0,78$};
\draw (A.east) -- (ABB.west) node[midway,fill=white] {$0,22$};
%
\draw (Z.east) -- (ZB.west) node[midway,fill=white] {$0,07$};
\draw (Z.east) -- (ZBB.west) node[midway,fill=white] {$0,93$};
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item On nous demande ici de calculer $P(S \cap M)$:
\begin{align*}
P(S \cap M) & = P(S) \times \probacond{M}{S}\\
& = 0,63 \times 0,78\\
\Aboxed{P(S \cap M) & = 0,4914}
\end{align*}

\item On a :
\begin{align*}
P(M) & = P(S \cap M) + P(\evcont{S} \cap M)\\
& = 0,4914 + 0,37\times0,07\\
\Aboxed{P(M) = 0,5173}
\end{align*}

\uline{La probabilité pour que la personne choisie au hasard soit réellement atteinte de la STAS-3 est donc de 0,5173.}

\item $\begin{aligned}[t]
\probacond{S}{\evcont{M}} & = \dfrac{\proba{S \cap \evcont{M}}}{\proba{\evcont{M}}}\\
& = \dfrac{0,63 \times 0,22}{1-0,5173}\\
\Aboxed{\probacond{S}{\evcont{M}} & \approx 0,2871}
\end{aligned}$

\item L'épreuve consistant à regarder si une personne est réellement atteinte de la STAS-3 est une épreuve de Bernoulli dont la probabilité du succès est 0,5173 (calculée à la question précédente).

On répète ici de manière indépendant 20 fois cette épreuve donc X suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,5173$.

\item D'après l'énoncé, $G = \numprint{100000}+100X$. En effet, l'hôpital reçoit \numprint{100000} \euro{} quel que soit le nombre de personnes atteintes de la STAS-3, auxquels s'ajoutent 100 \euro{} par personnes atteintes, soit $100X$ \euro.

\medskip

Par conséquent,
\begin{align*}
E(G) & E(\numprint{100000}+100X)\\
& = \numprint{100000}+100E(X)\text{ (par liéarité de l'espérance mathématique)}\\
& = \numprint{100000}+100\times(20\times0,5173)\\
& = \numprint{101034,6}
\end{align*}

L'hôpital peut alors espérer recevoir \numprint{101034,60} \euro{} sur ces 20 personnes.

\item À la calculatrice, on a :
\begin{itemize}
\item $\probavar{X}{5}\approx 0,0103$.
\item $\probavar[\leqslant]{X}{5}\approx 0,0141$.
\item $\probavar[\geqslant]{X}{10}\approx 0,6478$.
\end{itemize}

\item Pour déterminer le premier entier $k$ pour lequel $\probavar[\leqslant]{X}{k} \geqslant 0,95$, on peut calculer pour commencer :
\[
\probavar[\leqslant]{X}{10} \approx 0,5263.
\]
On prend $k=10$ car il y a en tout 20 patients. On voit que la probabilité n'est pas supérieure à 0,95; on peut alors prendre $k=15$ (à mi-chemin entre 10 et 20):
\[
\probavar[\leqslant]{X}{15} \approx 0,9970 \geqslant 0,95.
\]
On prend alors $k=14$:
\[
\probavar[\leqslant]{X}{14} \approx 0,9703 \geqslant 0,95.
\]
On prend alors $k=13$:
\[
\probavar[\leqslant]{X}{13} \approx 0,9222 < 0,95.
\]
\uline{Le premier entier $k$ pour lequel $\probavar[\leqslant]{X}{k} \geqslant 0,95$ est donc $k=14$.}
\end{enumerate}
