Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose:
\[
S_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots
\]
où $k! = 2\times3\times4\times5\times\cdots\times (k-1)\times k$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $k$, $\dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!}$.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $S_n=1-\dfrac{1}{(n+1)!}$.
\item Calculer alors $\limite{n}{+\infty}{S_n}$.
\end{enumerate}

