
\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{n+\sin(n)}{n+\cos(n)}=\dfrac{\cancel{n}\left(1+\frac{\sin(n)}{n} \right)}{\cancel{n}\left(1+\frac{\cos(n)}{n}\right)}$.

Or, pour tout entier naturel $n$,
\[
\begin{cases}
-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1 & \text{ donc } -\frac{1}{n} \leqslant \frac{\sin(n)}{n} \leqslant \frac{1}{n}\\[8pt]
-1 \leqslant \cos(n) \leqslant 1 & \text{ donc } -\frac{1}{n} \leqslant \frac{\cos(n)}{n} \leqslant \frac{1}{n}
\end{cases}
\]
donc, d'après le théorème des gendarmes, 
\[
\limite{n}{+\infty}\frac{\sin(n)}{n}=\limite{n}{+\infty}\frac{\cos(n)}{n}=0
\]
et donc:
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}u_n=\dfrac{1}{1}=1}
\]

\item $u_n=\displaystyle\dfrac{1}{n}\sum_{p=0}^n\sin^p(a)=\dfrac{1}{n}\big(1+\sin(a)+\sin^2(a)+\cdots+\sin^n(a)\big)=\dfrac{1}{n}\times\dfrac{1-\sin^{n+1}(a)}{1-\sin(a)}$.

En effet, nous pouvons voir la somme:
\[
1+\sin(a)+\sin^2(a)+\cdots+\sin^n(a)
\]
comme étant la somme :
\[
1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
\]
avec $q=\sin(a)$ ($a\neq\dfrac{\pi}{2}\mod2\pi$ donc $\sin(a)\neq1$).

\medskip

De plus,
\begin{align*}
-1\leqslant\sin(a)\leqslant1 & \Rightarrow -1\leqslant\sin^{n+1}(a)\leqslant1\\
& \Rightarrow -1 \leqslant -\sin^{n+1}(a) \leqslant 1\\
& \Rightarrow 0 \leqslant 1-\sin^{n+1}(a) \leqslant 2\\
& \Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{1-\sin^{n+1}(a)}{1-\sin(a)} \leqslant \dfrac{2}{1-\sin(a)}\\
& \Rightarrow 0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac{1}{n}\times\underbrace{\dfrac{2}{1-\sin(a)}}_{\text{constante}}.
\end{align*}
Or,
\[
\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}\times\underbrace{\dfrac{2}{1-\sin(a)}}_{\text{constante}}=0
\]
donc d'après le théorème des gendarmes,
\[
\boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0}
\]
\end{enumerate}
