
\begin{enumerate}
\item Calculons $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{n^2+\sin(n)}{n+1}}$.

Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1 & \iff n^2-1 \leqslant n^2+\sin(n) \leqslant n^2+1\\
& \iff \dfrac{n^2-1}{n+1} \leqslant \dfrac{n^2+\sin(n)}{n+1} \leqslant \dfrac{n^2+1}{n+1}\text{ car }n+1>0.
\end{align*}
Or, $\dfrac{n^2-1}{n+1}=\dfrac{\cancel{n}\left(n-\frac{1}{n}\right)}{\cancel{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)}$.

De plus, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{n}}=0$ donc:
\[
\left.
\begin{aligned}
\limite{n}{+\infty}{\left(n-\frac{1}{n}\right)} = +\infty\\
\limite{n}{+\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}=1
\end{aligned}
\right\}\Rightarrow\limite{n}{+\infty}{\dfrac{n^2-1}{n+1}}=+\infty\text{ (par quotient)}.
\]
On a :
\[
\underbrace{\dfrac{n^2-1}{n+1}}_{\color{red} \to +\infty} \leqslant \dfrac{n^2+\sin(n)}{n+1}
\]
donc, d'après le théorème de comparaison,
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}{\dfrac{n^2+\sin(n)}{n+1}}=+\infty}
\]

\item Calculons $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{(-1)^n-n^3}{1+n^2}}$.

Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1 & \iff (-1)-n^3 \leqslant (-1)^n-n^3 \leqslant 1-n^3\\
& \iff \dfrac{-1-n^3}{1+n^2} \leqslant \dfrac{(-1)^n-n^3}{1+n^2} \leqslant \dfrac{1-n^3}{1+n^2}
\end{align*}
Or,
\[
\dfrac{1-n^3}{1+n^2}=\dfrac{\cancel{n^2}\left(\frac{1}{n^2}-n\right)}{\cancel{n^2}\left(\frac{1}{n^2}+1\right)}=\dfrac{\frac{1}{n^2}-n}{\frac{1}{n^2}+1}.
\]
De plus, 
\[
\left.
\begin{aligned}
\limite{n}{+\infty}{\left( \frac{1}{n^2}-n \right)} = -\infty\\
\limite{n}{+\infty}{\left( \frac{1}{n^2}+1 \right)} = 1
\end{aligned}
\right\}\Rightarrow \limite{n}{+\infty}{\dfrac{\frac{1}{n^2}-n}{\frac{1}{n^2}+1}}=-\infty\text{ (par quotient)}.
\]
On a :
\[
\dfrac{(-1)^n-n^3}{1+n^2} \leqslant \underbrace{\dfrac{1-n^3}{1+n^2}}_{\color{red}\to-\infty}
\]
donc, d'après le théorème de comparaison,
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}{\dfrac{(-1)^n-n^3}{1+n^2}}=-\infty}
\]
\end{enumerate}
\begin{rem}
Quand on a un encadrement de la forme $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ et que l'on souhaite déterminer la limite de $u_n$, il suffit de prendre une partie de cet encadrement quand $\limite{n}{+\infty}{v_n}$ et/ou $\limite{n}{+\infty}{w_n}$ est infinie, car le théorème des gendarmes ne fonctionne pas avec une limite infinie.
\end{rem}
