Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose:
\[
S_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{2!}+\dfrac{2}{3!}+\dfrac{3}{4!}+\cdots
\]
où $k! = 2\times3\times4\times5\times\cdots\times (k-1)\times k$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $S_1$, $S_2$ et $S_3$.

Vérifier que $S_n=1-\dfrac{1}{(n+1)!}$ pour $n=1$, $n=2$ et $n=3$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[ S_n=1-\dfrac{1}{(n+1)!}. \]
\end{enumerate}

