On définit la suite \suite{u}{n}{} par:
\[
\begin{cases}
u_0=4\\
u_{n+1}=\frac{1}{4}u_n+12 \qquad \forall n\in\N.
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,
\[
4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20.
\]
\item Montrer que \suite{u}{n}{} est convergente.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose: $v_n=u_n-16$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_0$.
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est géométrique.
\item En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la limite de \suite{u}{n}{}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

